Question

小華看著電視里的舞蹈節目：七個身穿不同民族服裝的舞蹈演員正在面對觀眾進行隊列變換，他陷入了沉思：這7個演員面對觀眾一共會有幾種隊列變換呢？…為了解決這一問題，他是這樣思考和探索的：
①若只有一個演員A，那就只有隊列變換A，共1種；
②若有二個演員A、B，那就有隊列變換：AB和BA，共2種；
③若有三個演員A、B、C，那就有隊列變換：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共6種；
④若有四個演員A、B、C、D，那就有隊列變換（小華把這四個字母在紙上不停的變換順序地排列著、寫著）…數數看，哇！有24種，變化如此之快呀，五個、六個、七個演員呢？看來不可再強攻，否則就…，還是智取吧…
通過查閱資料，小華發現了如下的材料：
材料：從m個人中選出n人排成一列的所有排列方法總數（下均簡稱排列數）記為A

n m

=m×（m-1）×（m-2）×…×（m-n+1），特別地當m=n時即從m個人中選出m個人進行全排列為A

m m

=m×（m-1）×（m-2）×…×2×1
再應用表格吧，記得書上有這樣的例子，老師也曾示范過，它能更加清楚地反映其中的數字規律呢？

演員的個數	1	2	3	4	…
可能有的變換數	1	2	6	24	…

（1）求A

2 5

和A

3 3

的值？
（2）計算這7個舞蹈演員面對觀眾一共會有幾種隊列變換？
（3）6個人排成一列，其中甲排最前面，同時乙排最后面的概率是多少？

Answer 1

分析：（1）根據從m個人中選出n人排成一列的所有排列方法總數記為A

n m

=m×（m-1）×（m-2）×…×（m-n+1），可知A

2 5

是從5個人中選出2人排成一列的所有排列方法總數，即為5×4=20；同理得出A

3 3

=3×2×1=6；
（2）根據已知得出7個舞蹈演員跳舞，面對觀眾作隊形變化的規律是7×6×5×4×3×2×1；
（3）先求出6個人排成一列的所有排列方法總數，再求出甲排最前面，同時乙排最后面的排列方法總數，然后根據概率公式求解．

解答：解：（1）A

2 5

=5×4=20，A

3 3

=5×4×3=60；

（2）∵7個舞蹈演員跳舞，
∴面對觀眾作隊列變換的情況有：7×6×5×4×3×2×1=5040；

（3）∵6個人排成一列，不管甲乙的位置，總的排法是從6個人里面選出6個人進行全排列

A

6 6

=6×5×4×3×2×1=720，
其中甲排最前面，同時乙排最后面，相當于是4個人在排

A

4 4

=4×3×2×1=24，
∴6個人排成一列，其中甲排最前面，同時乙排最后面的概率是

24

720

=

1

30

．

點評：此題主要考查了規律性問題以及可能性大小有關知識，得出面對觀眾作隊列變換的規律是解決問題的關鍵．