Question

（1）用1×1，2×2，3×3三種型號的正方形地板磚鋪設23×23的正方形地面，請你設計一種鋪設方案，使得1×1的地板磚只用一塊．
（2）請你證明：只用2×2，3×3兩種型號的地板磚，無論如何鋪設都不能鋪23×23的正方形地面而不留空隙．

Answer 1

分析：（1）根據用1×1，2×2，3×3三種型號的正方形地板磚鋪設，可以得出用12塊3×3地板磚與6塊2×2地板磚能鋪成12×11的長方形，再利用4個12×11的板塊，恰用1塊1×1地板磚，可以鋪滿23×23的正方形；
（2）根據23×23的大正方形分成23行23列共計529個1×1的小方格，假設用2×2及3×3的正方形地板磚可以鋪滿23×23后正方形地面，則它們蓋住的白色1×1的小方格總數為偶數個．
然而23×23地面染色后共有23×15（奇數）個1×1的白色小方格，矛盾，得出命題正確．

解答：解：（1）首先用12塊3×3地板磚與6塊2×2地板磚能鋪成12×11的長方形地面，
再利用4個12×11的板塊，恰用1塊1×1地板磚，可以鋪滿23×23的正方形地面．
（2）我們將23×23的大正方形分成23行23列共計529個1×1的小方格，
再將第1行，第4行，第7行，第10行，第13行，第16行，第19行，第22行這八行染紅色，其余的15行都染白色，
任意2×2或3×3的小正方塊無論怎樣放置（邊線與大正方形格線重合），每塊2×2或3×3的正方塊都將蓋住偶數塊1×1的白色小方格．
假設用2×2及3×3的正方形地板磚可以鋪滿23×23后正方形地面，則它們蓋住的白色1×1的小方格總數為偶數個．
然而23×23地面染色后共有23×15（奇數）個1×1的白色小方格，矛盾．
所以，只用2×2，3×3兩種型號地板磚無論如何鋪設，都不能鋪滿23×23的正方形地面而不留空隙．

點評：此題主要考查了染色問題和圖形的排列與組合，根據數據分析出假設用2×2及3×3的正方形地板磚可以鋪滿23×23后正方形地面得出矛盾從而解決問題．