Question

如圖，正方形PQRS有三個頂點分別在三角形ABC的三條邊上，BQ=QC，請求出正方形PQRS的面積．

Answer 1

分析：如下面左圖所示，連接PR，根據題意可以表示出三角形APR，三角形BPQ，三角形CQR與三角形ABC的面積之間的關系，進而表示出三角形PQR的面積與三角形ABC的面積之間的關系，于是得出正方形PQRS的面積與三角形ABC的面積之間的關系，從而得出三角形ABC中除正方形之外的其余部分的面積與三角形ABC的面積之間的關系；然后再利用旋轉的方式，如下面右圖所示，將三角形BPQ以點P為中心逆時針旋轉90°至三角形OPS，同樣將三角形CQR以點R為中心，順時針旋轉90°至三角形ORS的位置，由BQ=CQ等關系可以得出圖中兩個陰影三角形恰好構成完整的四邊形SPOR，連接AO，可以證明三角形APO，三角形ARO都是直角三角形，于是可以求出四邊形APOR的面積，然后可以得出三角形ABC的面積，進而求出正方形PQRS的面積．

解答：解：如上面左圖所示，連接PR，根據題意有：S_△APR=S_△ABC×

7

13

×

9

11

=

63

143

S_△ABC，
S_△BPQ=S_△ABC×

6

13

×

1

2

=

3

13

S_△ABC，
S_△CQR=S_△ABC×

2

11

×

1

2

=

1

11

S_△ABC．
所以S_△PQR=S_△ABC-S_△APR-S_△BPQ-S_△CQR=（1-

63

143

-

3

13

-

1

11

）S_△ABC=

34

143

S_△ABC，
因此，S_{正方形PQRS}=2S_△PQR=

68

143

S_△ABC，
S_{四邊形APSR}+S_△BPQ+S_△CQR=（1-

68

143

）S_△ABC=

75

143

S_△ABC；
如上面右圖所示，將△BPQ以點P為中心逆時針旋轉90°至△OPS，同樣將△CQR以點R為中心，順時針旋轉90°至△ORS的位置，
因為BQ=CQ，∠PSO+∠RSO=∠PQB+∠RQC=90°，
所以兩個陰影三角形可以構成完整的四邊形SPOR．
連接AO，因為∠OPS+∠APS=∠BPQ+∠APS=90°，
所以△APO為直角三角形，同理△ARO也是直角三角形．
所以S_{四邊形APSR}+S_△BPQ+S_△CQR=S_{四邊形APSR}+S_△OPS+S_△OQS=S_{四邊形APOR}=S_△APO+S_△ARO=

1

2

×7×6+

1

2

×9×2=30（cm²），
因此S_△ABC=30÷

75

143

=

2×143

5

，
S_{正方形PQRS}=

2×143

5

×

68

143

=

136

5

=27.2（cm²）．
答：正方形PQRS的面積是27.2cm²．

點評：本題難度很大，解決的關鍵是輔助線的添加，特別是通過旋轉進行面積的轉化．