Question

2．計算$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$可以這樣考慮：$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{8}$）=1-$\frac{1}{8}$=$\frac{7}{8}$
請你在理解的基礎上計算下式的值：1$\frac{1}{2}$+2$\frac{1}{4}$+3$\frac{1}{8}$+4$\frac{1}{16}$+5$\frac{1}{32}$+…+10$\frac{1}{1024}$．

Answer 1

分析 把帶分數的整數部分和整數部分相加，分數部分和分數部分相加，整數部分根據高斯求和公式計算；分數部分再根據拆項公式：$\frac{1}{2n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}$，把分數拆項，通過加減相互抵消簡算即可．

解答 解：1$\frac{1}{2}$+2$\frac{1}{4}$+3$\frac{1}{8}$+4$\frac{1}{16}$+5$\frac{1}{32}$+…+10$\frac{1}{1024}$
=（1+2+3+4+5+…+10）+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+…+$\frac{1}{1024}$）
=（1+10）×10÷2+（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{512}$-$\frac{1}{1024}$）
=55+（1-$\frac{1}{1024}$）
=55+$\frac{1023}{1024}$
=55$\frac{1023}{1024}$

點評 本題考查了高斯求和公式：（1+n）n÷2和分數拆項公式：$\frac{1}{2n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}$的靈活應用．