Question

小明有10元錢，他準備從明天開始，每天買一包餅干或一包薯片．餅干每包1元，薯片每包2元．問小明花完10元有多少種方法？

Answer 1

考點：篩選與枚舉

專題：傳統應用題專題

分析：本題可以看作“登樓梯問題”，即：樓梯共有10級（10元），每次只能跨上一級（餅干每包1元）或二級（薯片每包2元），要登上第10級，共有多少種不同走法，然后根據每次跨一級或兩級進行分情況討論．

解答： 解：把本題可以看作“登樓梯問題”來解答：
1．沒有跨兩級的情況：每次跨一級，1種跨法；
2．有一次跨兩級：需要跨9次，9次中選取一次跨兩級，即9選1，有9種情況；
3．有兩次跨兩級：需要8次，8次中選取2次跨兩級，即8選2，8×7÷（2×1）=28（種），有28種跨法；
4．有三次兩級：需要跨7次，7次中選取3次跨兩級，即7選3，7×6×5÷（3×2×1）=35（種），有35種；
5．有四次跨兩級：需要跨6次，6次中選取4次跨兩級，即6選4，6×5×4×3÷（4×3×2×1）=15（種），有15種；
6．有五次跨兩級：有1種跨法．
共計：1+9+28+35+15+1=89（種）；
答：小明花完10元有89種方法．

點評：本題先根據條件轉化乘組合的問題，組合問題的公式：n個中選a個就有n×（n-1）×（n-2）×…共有a個的積，再除以a×（a-1）×…×1的積．
本題還可以利用“裴波那契數列”來解答：
當n=1元時，（1），有：a₁=1種；
當n=2元時，（1，1），（2），有：a₂=2種；
當n=3元時，（1，1，1），（1，2），（2，1），有a₃=1+2=3種；
當n=4元時，（1，1，1，1，），（1，2，1），（2，1，1），（1，1，2）（2，2，），有：2+3=5種；
…
由此可得規律：下一種的方法數等于前兩種方法數的和，即：a_n+2=a_n+1+a_n，
所以，可得排列：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89；
答：小明花完10元有89種方法．