Question

分母是1001的最簡真分數(shù)有

720

個．

Answer 1

分析：解答此題首先把1001分解質(zhì)因數(shù)，用質(zhì)因數(shù)分別除1001算出不是最簡真分數(shù)（質(zhì)因數(shù)的倍數(shù)為分子的不是最簡真分數(shù)）的個數(shù)，每兩個質(zhì)因數(shù)的乘積為分子的已重復(fù)計算，要從總個數(shù)中減去，再加上以1001為分子的1個，從1001中減去不是最簡真分數(shù)的總個數(shù)即為分母是1001的最簡真分數(shù)的個數(shù)．

解答：解：分解質(zhì)因數(shù)：1001=7×11×13；
1～1001中，有7的倍數(shù)[

1001

7

]=143（個），有11的倍數(shù)[

1001

11

]=91（個），有13的倍數(shù)[

1001

13

]=77（個）；有7×11=77的倍數(shù)[

1001

77

]=13（個），有7×13=91的倍數(shù)[

1001

91

]=11（個），有11×13=143的倍數(shù)[

1001

143

]=7（個），有1001的倍數(shù)1個．
由容斥原理知：在1～1001中能被7或11或13整除的數(shù)有（43+91+7）-（13+11+7）+1=281（個），從而不能被7、11或13整除的數(shù)有1001-281=720（個）．也就是說，分母為1001的最簡分數(shù)有720個．

點評：本題主要考查倍數(shù)、最簡真分數(shù)以及容斥原理等方面的知識．