Question

有一串分數，

1

1

，

1

2

，

2

2

，

1

2

，

1

3

，

2

3

，

3

3

，

2

3

，

1

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

4

4

…請問

7

10

是第幾個分數？第400個分數是幾分之幾？

Answer 1

考點：數字串問題

專題：探索數的規律

分析：（1）分母是1的分數有1個，分子是1；
分母是2的分數有3個，分子是1，2，1；
分母是3的分數有5個，分子是1，2，3，2，1；
分母是4的分數有7個；分子是1，2，3，4，3，2，1．
分數的個數分別是1，3，5，7…，當分母是n時有2n-1個分數；由此求出從分母是1的分數到分母是10的分數一共有多少個；
分子是自然數，先從1增加，到分母相同時再減少到1；因此

7

10

在這個數列中應該有2個，求出第一個

7

10

是第幾個即可；
（2）分母是1的分數有1個，分子是1；
分母是2的分數有3個，分子是1，2，1；
分母是3的分數有4個，分子是1，2，3，1；
分母是4的分數有5個；分子是1，2，3，4，1；
…
分母是n的分數有n+1個（n＞1），由此規律進一步探究答案即可．

解答： 解：（1）分母是7的分數一共有；
2×7-1=13（個）；
從分母是1的分數到分母是10的分數一共：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
=（1+19）×10÷2
=200÷2
=100（個）；
那么從第100個分數開始依次是：

1

10

，

2

10

，

3

10

，

4

10

，

5

10

，

6

10

，

7

10

；所以第一個

7

10

是第107個分數．
答：第一次出現的

7

10

是第107個分數．

（2）分母是3的分數有4個，分子是1，2，3，1；
分母是4的分數有5個；分子是1，2，3，4，1；
…
分母是n的分數有n+1個（n＞1）．
共有1+3+4+5+…+（n+1）=（n+1）×（n+2）÷2-2，
因為（26+1）×（26+2）÷2-2=376，
（27+1）×（27+2）-2=404，
第404個分數是

1

27

，向前推為第403個分數是

27

27

，第402個分數是

26

27

，第401個分數是

25

27

，第400個分數是

24

27

．
所以這串數的第400個數是

24

27

．

點評：本題需要找出分數個數與分母之間的規律，還要找出分子的變化規律．