Question

仔細觀察下面的式子，并填空．

1

1×2

=1-

1

2

                    

1

2×3

=

1

2

-

1

3

1

3×4

=

 

-

 

       

1

4×5

=

 

-

 

…
根據以上規律，計算下面的算式．

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

99×100

．

Answer 1

考點：分數的巧算

專題：計算問題（巧算速算）

分析：觀察

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，可以發現規律：兩個相鄰自然數（0除外）的積的倒數等于較小的自然數的倒數與較大的自然數的倒數的差，即

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此可知，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；

1

4×5

=

1

4

-

1

5

；據此規律，算式中的每個加數都可以拆分成兩個分數的差，然后進行計算即可．

解答： 解：

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

；

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

99×100

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+（

1

4

-

1

5

）+…+（

1

99

-

1

100

）
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

99

-

1

100

=1-

1

100

=

99

100

．
故答案為：

1

3

；

1

4

；

1

4

；

1

5

．

點評：本題考查了分數的巧算，關鍵是能從特殊情況發現一般規律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n為不等于0的自然數），并應用規律解決問題．