Question

在括號內填上兩個不同的正整數，使等式

1

2

=

1

(    )

+

1

(     )

成立．同樣，找出兩個不同的正整數，使等式

1

5

=

1

(     )

+

1

(     )

，

1

n

=

1

n+1

+

1

(     )

成立．

Answer 1

分析：可以從最簡單的入手，先填入3試一試即

1

2

=

1

3

+

1

( )

，進而可得

1

( )

=

1

2

-

1

3

=

1

6

，所以

1

2

=

1

3

+

1

6

；
同理：

1

3

-

1

4

=

1

12

，可得

1

3

=

1

4

+ 

1

12

；

1

4

-

1

5

=

1

20

，可得

1

4

=

1

5

+

1

20

；

1

5

-

1

6

=

1

30

，可得

1

5

=

1

6

+ 

1

30

；…
根據分母之間的關系可得出規律：

1

n

=

1

n+1

+

1

n×(n+1)

．

解答：解：（1）

1

2

=

1

3

+

1

6

；
（2）

1

5

=

1

6

+ 

1

30

；
（3）

1

n

=

1

n+1

+

1

n×(n+1)

；
故答案為：3、6；6、30；n×（n+1）．

點評：“式”的規律題，研究時可以從最簡單的入手，經過嘗試調整就可找出規律．本題的關鍵是：嘗試填入數后，得出的差的分母是否為1．