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[例1]某單位組織4個部門的職工旅游，規定每個部門只能在3個景區中任選一個，假設各部門選擇每個景區是等可能的.

　(Ⅰ)求3個景區都有部門選擇的概率；

　(Ⅱ)求恰有2個景區有部門選擇的概率.

解：某單位的4個部門選擇3個景區可能出現的結果數為3⁴.由于是任意選擇，這些結果出現的可能性都相等.

(I)3個景區都有部門選擇可能出現的結果數為(從4個部門中任選2個作為1組，另外2個部門各作為1組，共3組，共有種分法，每組選擇不同的景區，共有3！種選法)，記“3個景區都有部門選擇”為事件A₁，那么事件A₁的概率為

P(A₁)=

(II)解法一：分別記“恰有2個景區有部門選擇”和“4個部門都選擇同一個景區”為事件A₂和A₃，則事件A₃的概率為P(A₃)=，事件A₂的概率為

P(A₂)=1－P(A₁)－P(A₃)=

解法二：恰有2個景區有部門選擇可能的結果為(先從3個景區任意選定2個，共有種選法，再讓4個部門來選擇這2個景區，分兩種情況：第一種情況，從4個部門中任取1個作為1組，另外3個部門作為1組，共2組，每組選擇2個不同的景區，共有種不同選法.第二種情況，從4個部門中任選2個部門到1個景區，另外2個部門在另1個景區，共有種不同選法).所以

P(A₂)=

[例2]今有標號為1，2，3，4，5的五封信，另有同樣標號的五個信封.現將五封信任意地裝入五個信封，每個信封裝入一封信，試求

(1)　 至少有兩封信配對的概率.

(2)　 至少有一封信配對的概率

(3) 沒有一封信配對.

解：(1)設恰有兩封信配對為事件A，恰有三封信配對為事件B，恰有四封信(也即五封信配對)為事件C，則“至少有兩封信配對”事件等于A+B+C，且A、B、C兩兩互斥.

∵P(A)=，P(B)=，P(C)=，

∴所求概率P(A)+P(B)+P(C)=.

即至少有兩封信配對的概率是.

(2)恰有四封信不配對的裝法有C₅¹(3×3)種,

∴至少有一封信配對的概率為.

(3) 1－.

◆提煉方法：1.靈活運用事件的互斥與對立關系,進行分類計算,或間接計算.

2.恰有四封信不配對的算法.

[例3] 學校文藝隊每個隊員唱歌、跳舞至少會一門，已知會唱歌的有5人，會跳舞的有7人，現從中選3人，且至少要有一位既會唱歌又會跳舞的概率是，問該隊有多少人？

解：設該隊既會唱歌又會跳舞的有x人，從而只會唱歌或只會跳舞的有(12－x)人，記“至少要有一位既會唱歌又會跳舞”的事件為A，則事件A的對立事件是“只會唱歌或只會跳舞”

解得x=3,　 12－x=9，故該隊共有9人

[例4]在袋中裝20個小球，其中彩球有n個紅色、5個藍色、10個黃色，其余為白球.

求：(1)如果從袋中取出3個都是相同顏色彩球(無白色)的概率是，且n≥2，那么，袋中的紅球共有幾個?

(2)根據(1)的結論，計算從袋中任取3個小球至少有一個是紅球的概率.

解：(1)取3個球的種數為C=1140.

設“3個球全為紅色”為事件A，“3個球全為藍色”為事件B，“3個球全為黃色”為事件C.

P(B)==，P(C)==.

∵A、B、C為互斥事件，

∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)，

即=P(A)++P(A)=0 取3個球全為紅球的個數≤2.

又∵n≥2，故n=2.

(2)記“3個球中至少有一個是紅球”為事件D.則為“3個球中沒有紅球”.

P(D)=1－P()=1－=或

P(D)==.

[研討.欣賞]有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現正反面為等可能性事件，棋盤上標有第0站，第1站，第2站，…，第100站，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋向前跳一站(從k到k+1)，若擲出反面，棋向前跳兩站(從k到k+2)，直到棋子跳到第99站(勝利大本營)或跳到第100站(失敗集中營)時，該游戲結束.設棋子跳到第n站概率為P_n.

(1)求P₀，P₁，P₂的值；

(2)求證：P_n－P_n－1=－(P_n－1－P_n－2)，其中n∈N，2≤n≤99；

(3)求P₉₉及P₁₀₀的值.

(1)解：棋子開始在第0站為必然事件，∴P₀=1.

第一次擲硬幣出現正面，棋子跳到第1站，其概率為，

∴P₁=.棋子跳到第2站應從如下兩方面考慮：

①前兩次擲硬幣都出現正面，其概率為；

②第一次擲硬幣出現反面，其概率為.

∴P₂=+=.

(2)證明：棋子跳到第n(2≤n≤99)站的情況是下列兩種，而且也只有兩種：

①棋子先到第n－2站，又擲出反面，其概率為P_n－2；

②棋子先到第n－1站，又擲出正面，其概率為P_n－1.

∴P_n=P_n－2+P_n－1. ∴P_n－P_n－1=－(P_n－1－P_n－2).

(3)解：由(2)知，當1≤n≤99時，數列{P_n－P_n－1}是首項為P₁－P₀=－，公比為－的等比數列.

∴P₁－1=－，P₂－P₁=(－)²，

P₃－P₂=(－)³，…，P_n－P_n－1=(－)ⁿ.

以上各式相加，得P_n－1=(－)+(－)²+…+(－)ⁿ，

∴P_n=1+(－)+(－)²+…+(－)ⁿ

=［1－(－)ⁿ⁺¹］(n=0，1，2，…，99).

∴P₉₉=［1－()¹⁰⁰］，

P₁₀₀=P₉₈=·［1－(－)⁹⁹］=［1+()⁹⁹］.

◆提煉方法：求某些稍復雜的事件的概率時，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的對立事件的概率.

5.;　 6. + =.

4.甲不輸即為甲獲勝或甲、乙二人下成和棋，90%=40%+p，∴p=50%.

6.一盒中裝有20個大小相同的彈子球，其中紅球10個，白球6個，黃球4個，一小孩隨手拿出4個，求至少有3個紅球的概率為________.

簡答:1-4.DADD;　 2.共有56個三角形,;　 3. 不出現6點向上的概率:=,至少出現一次6點向上的概率:1－= ;

5.若10把鑰匙中只有2把能打開某鎖，則從中任取2把能將該鎖打開的概率為　　　　 .

4.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是40%，甲不輸的概率為90%，則甲、乙二人下成和棋的概率為

A.60%　　　　　　　 B.30%　　　　　　　 C.10%　　　　　　　 D.50%

3.(2004江蘇)將一顆質地均勻的骰子(它是一種各面上分別標有點數1、2、3、4、3.6的正方體玩具)先后拋擲3次，至少出現一次6點向上的概率是　　　　 (　 )

A.　　　　　　　 B.　　　　　　 　C.　　　　　　　 D.

2．(2005湖北)以平行六面體ABCD-A′B′C′D′的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率p為( 　)

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

1．(2005山東)10張獎券中只有3張有獎，5個人購買，每人一張，至少有1人中獎的概率是　　　　 ( 　)

A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C． 　　　　　　　　　　 D．

5．互斥事件概率的計算反映了分類討論的思想；而則體現了“正難則反”的策略，在解題中要注意靈活運用。