20090520
由余弦定理，得
，所以
， ……10分
解方程組
，得
．
……12分
18．解：記 “過第一關”為事件A,“第一關第一次過關”為事件A1，“第一關第二次過關”為事件A2；“過第二關”為事件B, “第二關第一次過關”為事件B1，“第二關第二次過關”為事件B2；
（Ⅰ）該同學獲得900元獎金，即該同學順利通過第一關，但未通過第二關，則所求概率為
．
……………………………３分
（Ⅱ）該同學通過第一關的概率為：
， ……………………5分
該同學通過第一、二關的概率為：
， ………………………７分
∴ 在該同學已順利通過第一關的條件下，他獲3600元獎金的概率是
． ………………………………………………………8分
（Ⅲ）該同學獲得獎金額
可能取值為：0 元，900 元， 3600 元．………9分
， ……………………………10分
，
，
（另解：
＝1－
－
＝
）
∴ 
． ……12分
19．（本題滿分12分）
解: （Ⅰ）當
為
中點時,有
∥平面
．…１分
證明:連結
連結
，
∵四邊形
是矩形 ∴
為
中點
∵∥平面，
且
平面,
平面
∴∥，------------------４分
∴為的中點．------------------５分
（Ⅱ）建立空間直角坐標系
如圖所示,
則
,
,
,
,
------------7分
所以
設
為平面的法向量,
則有
,
即
令
,可得平面的一個
法向量為
, ----------------9分
而平面
的法向量為
， ---------------------------10分
所以
，
所以二面角
的余弦值為
----------------------------12分
20．（Ⅰ）設橢圓C的方程為
，
則由題意知
．
∴
∴
．
∴橢圓C的方程為 
……………………4分
（Ⅱ）假設右焦點
可以為
的垂心，
，∴直線
的斜率為
，
從而直線
的斜率為1．設其方程為
， …………………………………５分
聯立方程組
，
整理可得：
……………6分．
，∴
設
，則
，
．……………7分
于是 
解之得
或
．
……………10分
當時，點
即為直線與橢圓的交點，不合題意；
當時，經檢驗知和橢圓相交，符合題意．
所以，當且僅當直線的方程為
時,
點是的垂心．…………12分
21．解：（Ⅰ）
的導數
令
，解得
；令
，
解得
．………………………2分
從而在
內單調遞減，在
內單調遞增．
所以，當
時，取得最小值
．……………………………5分
（II）因為不等式
的解集為P，且
，
所以，對任意的
，不等式恒成立，……………………………6分
由，得
當時，上述不等式顯然成立，故只需考慮
的情況。………………7分
將變形為
………………………………………………8分
令
，則
令
，解得
；令
，
解得
．…………………………10分
從而
在
內單調遞減，在
內單調遞增．
所以，當
時，
取得最小值
，從而，
所求實數
的取值范圍是
．………………12分
22．解：（Ⅰ）當
時，
∴
（Ⅱ）在
中，
在
中，
，
當
時，中第
項是
，
而中的第
項是
，
所以中第項與中的第項相等．
當
時，中第項是
，
而中的第
項是
，
所以中第項與中的第項相等．
∴ 
．
（Ⅲ）
+
．
當且僅當
或
，等號成立．
∴當或時，最小．
14．6 15．①⑤ 16．
，
， ……3分
、
是
的三內角，所以
， 
．
……6分