題目列表(包括答案和解析)
已知
（1）求函數
在
上的最小值
（2）對一切的
恒成立，求實數a的取值范圍
（3）證明對一切
，都有
成立
【解析】第一問中利用
當
時，
在
單調遞減，在
單調遞增
，當
，即
時，
，
第二問中，
，則
設
，
則
，
單調遞增，
，
，單調遞減，
，因為對一切，
恒成立，
第三問中問題等價于證明
，，
由（1）可知
，的最小值為
，當且僅當x=時取得
設
，，則
，易得
。當且僅當x=1時取得.從而對一切，都有
成立
解：（1）當時，在單調遞減，在單調遞增，當，即時，，
…………4分
（2），則設，
則，單調遞增，，，單調遞減，，因為對一切，恒成立，
…………9分
（3）問題等價于證明，，
由（1）可知，的最小值為，當且僅當x=時取得
設，，則，易得。當且僅當x=1時取得.從而對一切，都有成立
已知函數
．
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）設
，若對任意
，
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
【解析】第一問利用
的定義域是
由x>0及
得1<x<3；由x>0及
得0<x<1或x>3，
故函數
的單調遞增區間是（1,3）；單調遞減區間是
第二問中，若對任意
不等式
恒成立，問題等價于
只需研究最值即可。
解： （I）的定義域是 ．．．．．．1分
．．．．．．．．．．．．． 2分
由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，
故函數的單調遞增區間是（1,3）；單調遞減區間是 ．．．．．．．．4分
（II）若對任意不等式恒成立，
問題等價于，
．．．．．．．．．5分
由（I）可知，在
上，x=1是函數極小值點，這個極小值是唯一的極值點，
故也是最小值點，所以
； ．．．．．．．．．．．．6分
當b<1時，
；
當
時，
；
當b>2時，
；
．．．．．．．．．．．．8分
問題等價于
．．．．．．．．11分
解得b<1 或
或 
即
，所以實數b的取值范圍是
（本小題滿分12分）已知函數
（I）若函數
在區間
上存在極值，求實數a的取值范圍；
（II）當
時，不等式
恒成立，求實數k的取值范圍.
（Ⅲ）求證：解：（1）
，其定義域為
，則
令
，
則
，
當
時，
；當
時，
在（0，1）上單調遞增，在
上單調遞減，
即當時，函數取得極大值. （3分）
函數在區間
上存在極值，
，解得
（4分）
（2）不等式，即
令
（6分）
令
，則
，
，即
在
上單調遞增， （7分）
，從而
，故
在上單調遞增， （7分）
（8分）
（3）由（2）知，當時，
恒成立，即
，
令
，則
， （9分）
（10分）
以上各式相加得，
即
，
即
（12分）
。
已知函數
，
（1）求函數
的定義域；
（2）求函數在區間
上的最小值；
（3）已知
，命題p：關于x的不等式
對函數的定義域上的任意
恒成立；命題q：指數函數
是增函數．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數m的取值范圍．
【解析】第一問中，利用由
即
第二問中，
，
得：
，
第三問中，由在函數的定義域上
的任意，
，當且僅當
時等號成立。當命題p為真時，
；而命題q為真時：指數函數
．因為“p或q”為真，“p且q”為假，所以
當命題p為真，命題q為假時；當命題p為假，命題q為真時分為兩種情況討論即可 。
解：（1）由
即
（2）
，得：
，
（3）由在函數的定義域上
的任意，
，當且僅當時等號成立。當命題p為真時，；而命題q為真時：指數函數．因為“p或q”為真，“p且q”為假，所以
當命題p為真，命題q為假時，
當命題p為假，命題q為真時，
，
所以
在數列
中，
，其中
，對任意
都有：
；（1）求數列的第2項和第3項；
（2）求數列的通項公式
，假設
，試求數列
的前
項和
；
（3）若
對一切
恒成立，求
的取值范圍。
【解析】第一問中利用）
同理得到
第二問中，由題意得到：
累加法得到
第三問中，利用恒成立，轉化為最小值大于等于即可。得到范圍。
（1）同理得到
……2分
（2）由題意得到：
又
……5分
……8分
（3）
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