題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）
將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落．小球在整個下落過程中它將3次遇到黑色障礙物，最后落入
袋或
袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是
．
（Ⅰ）求小球落入袋中的概率
；
（Ⅱ）在容器入口處依次放入2個小球，記落入袋中的小球個數為
，試求的分布列和的數學期望
．
（本小題滿分12分）
將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落．小球在下落過程中它將3次遇到黑色障礙物，最后落入
袋或
袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是
．
（Ⅰ）求小球落入袋中的概率
；
（Ⅱ）在容器入口處依次放入4個小球，求恰好有3個球落入袋中的概率．
（本小題滿分12分）
將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落．小球在下落過程中它將3次遇到黑色障礙物，最后落入
袋或
袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是
．
（Ⅰ）求小球落入袋中的概率
；
（Ⅱ）在容器入口處依次放入4個小球，求恰好有3個球落入袋中的概率．
（本小題滿分12分）
將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處, 小球將自由下落.小球在下落過程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入
袋或
袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時向左、右兩邊下落的概率都是
（Ⅰ）求小球落入袋中的概率
（Ⅱ）在容器入口處依次放入4個小球,記X為落入袋中小球的個數,試求X=3的概率和X的數學期望
.
（本小題滿分12分）
將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落．小球在下落過程中它將3次遇到黑色障礙物，最后落入
袋或
袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是
．
（Ⅰ）求小球落入袋中的概率
；
（Ⅱ）在容器入口處依次放入4個小球，求恰好有3個球落入袋中的概率．
一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個備選項中，有且只有一項是符合要求的．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
A
C
B
B
C
A
二、 填空題：本大題共7小題，每小題5分，共30分．其中13～15小題是選做題，考生只能選做兩題，若三題全答，則只計算前兩題得分．
9．
10．
11．
12．②③ 13．
，
14．
，
15．
，
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16. 解：（Ⅰ）因為
，
，所以
．
因此，當
，即
（
）時，
取得最大值
；
（Ⅱ）由
及
得
，兩邊平方得
，即
．
因此，
．
17. 解：（Ⅰ）記“小球落入
袋中”為事件，“小球落入
袋中”為事件，則事件的對立事件為，而小球落入袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下，故
，
從而
；
（Ⅱ）顯然，隨機變量
，故
，
．
18. 
解： 建立如圖所示的空間直角坐標系，
并設
，則
（Ⅰ）
，
，
所以
，從而得
；
（Ⅱ）設
是平面
的
法向量，則由
，
及
，
得
可以取
．
顯然，
為平面
的法向量．
設二面角
的平面角為
，則此二面角的余弦值
．
19. 解：（Ⅰ）依題意，有
（
），化簡得
（），
這就是動點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）依題意，可設
、
、
，則有
，
兩式相減，得
，由此得點
的軌跡方程為
（
）．
設直線
：
（其中
），則
，
故由
，即
，解之得
的取值范圍是
．
20. 解：（Ⅰ）依題意知：直線
是函數
在點處的切線，故其斜率
，
所以直線的方程為
．
又因為直線與
的圖像相切，所以由
，
得
（
不合題意，舍去）；
（Ⅱ）因為
（
），所以
．
當
時，
；當
時，
．
因此，
在
上單調遞增，在
上單調遞減．
因此，當
時，取得最大值
；
（Ⅲ）當
時，
．由（Ⅱ）知：當時，
，即
．因此，有
．
21. 解：（Ⅰ）
，
，
；
（Ⅱ）依題意，得
，
，由此及
得
，
即
．
由（Ⅰ）可猜想：
（
）．
下面用數學歸納法予以證明：
（1）當
時，命題顯然成立；
（2）假定當
時命題成立，即有
，則當
時，由歸納假設及
得
，即
，
解之得
（
不合題意，舍去），
即當時，命題成立．
由（1）、（2）知：命題成立．
（Ⅲ）
．
令
（
），則
，所以在
上是增函數，故當
時，取得最小值，即當時，
．
（
，
）
，即
（）
．
解之得，實數
的取值范圍為
．
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