題目列表(包括答案和解析)
的等邊三角形內一點，它到三邊的距離分別為x、y、z，則x、y、z所滿足的關系式為 ，x2+y2+z2的最小值是 ．
的等邊三角形內一點，它到三邊的距離分別為x、y、z，則x、y、z所滿足的關系式為 ，x2+y2+z2的最小值是 ．
的等邊三角形內一點，它到三邊的距離分別為x、y、z，則x、y、z所滿足的關系式為________，x2+y2+z2的最小值是________．| 3 |
（選做題）本大題包括A，B，C，D共4小題，請從這4題中選做2小題． 每小題10分，共20分．請在答題卡上準確填涂題目標記． 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A． 選修4－1：幾何證明選講
如圖，
是邊長為
的正方形，以
為圓心，
為半徑的圓弧與以
為直徑的半⊙O交于點
，延長
交
于
．
（1）求證：是的中點；（2）求線段
的長．
B．選修4－2：矩陣與變換
已知矩陣A
，其中
，若點
在矩陣A的變換下得到
．
（1）求實數的值；
（2）矩陣A的特征值和特征向量．
C． 選修4－4：坐標系與參數方程
在極坐標系中，圓
的極坐標方程為
，
（1）過極點的一條直線
與圓相交于
，A兩點，且∠
，求
的長．
（2）求過圓上一點
，且與圓相切的直線的極坐標方程；
D．選修4－5：不等式選講
已知實數
滿足
，求
的最小值；
一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個備選項中，有且只有一項是符合要求的．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
A
C
B
B
C
A
二、 填空題：本大題共7小題，每小題5分，共30分．其中13～15小題是選做題，考生只能選做兩題，若三題全答，則只計算前兩題得分．
9．
10．
11．
12．②③ 13．
，
14．
，
15．
，
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16. 解：（Ⅰ）因為
，
，所以
．
因此，當
，即
（
）時，
取得最大值
；
（Ⅱ）由
及
得
，兩邊平方得
，即
．
因此，
．
17. 解：（Ⅰ）記“小球落入
袋中”為事件，“小球落入
袋中”為事件，則事件的對立事件為，而小球落入袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下，故
，
從而
；
（Ⅱ）顯然，隨機變量
，故
，
．
18. 
解： 建立如圖所示的空間直角坐標系，
并設
，則
（Ⅰ）
，
，
所以
，從而得
；
（Ⅱ）設
是平面
的
法向量，則由
，
及
，
得
可以取
．
顯然，
為平面
的法向量．
設二面角
的平面角為
，則此二面角的余弦值
．
19. 解：（Ⅰ）依題意，有
（
），化簡得
（），
這就是動點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）依題意，可設
、
、
，則有
，
兩式相減，得
，由此得點
的軌跡方程為
（
）．
設直線
：
（其中
），則
，
故由
，即
，解之得
的取值范圍是
．
20. 解：（Ⅰ）依題意知：直線
是函數
在點處的切線，故其斜率
，
所以直線的方程為
．
又因為直線與
的圖像相切，所以由
，
得
（
不合題意，舍去）；
（Ⅱ）因為
（
），所以
．
當
時，
；當
時，
．
因此，
在
上單調遞增，在
上單調遞減．
因此，當
時，取得最大值
；
（Ⅲ）當
時，
．由（Ⅱ）知：當時，
，即
．因此，有
．
21. 解：（Ⅰ）
，
，
；
（Ⅱ）依題意，得
，
，由此及
得
，
即
．
由（Ⅰ）可猜想：
（
）．
下面用數學歸納法予以證明：
（1）當
時，命題顯然成立；
（2）假定當
時命題成立，即有
，則當
時，由歸納假設及
得
，即
，
解之得
（
不合題意，舍去），
即當時，命題成立．
由（1）、（2）知：命題成立．
（Ⅲ）
．
令
（
），則
，所以在
上是增函數，故當
時，取得最小值，即當時，
．
（
，
）
，即
（）
．
解之得，實數
的取值范圍為
．
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