Question

（不等式選講選做題）已知點P是邊長為的等邊三角形內一點，它到三邊的距離分別為x、y、z，則x、y、z所滿足的關系式為________，x²+y²+z²的最小值是________．

Answer 1

x+y+z=3    3
分析：設等邊三角形的邊長為a，高為h將P與三角形的各頂點連接，進而分別表示出三角形三部分的面積，相加應等于總的面積建立等式求得x+y+z的值；再利用：（x²+y²+z²）×（1+1+1 ）≥（x+y+z）²這個不等關系進行求最小值即可．
解答：設等邊三角形的邊長為a，高為h
將P與三角形的各頂點連接
根據面積
那么：ax+ay+az=ah
所以x+y+z=h
因為等邊三角形的邊長為2 ，所以高為h=3
所以x．y．z所滿足的關系是為：x+y+z=3
∵（x²+y²+z²）×（1+1+1 ）≥（x+y+z）²=9，
∴x²+y²+z²≥9×=3，
故 x²+y²+z²的最小值為3，
故答案為：x+y+z=3；3．
點評：本題主要考查了三角形中的幾何計算、平均值不等式在函數極值中的應用，考查了學生綜合分析問題的能力和轉化和化歸的思想．