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（I）求異面直線MN和CD₁所成的角；
（II）證明：EF//平面B₁CD₁.

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在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，X軸的正半軸為極軸，取與直角坐標系相同的長度單位建立極坐標系.曲線C₁的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）；射線C₂的極坐標方程為：,且射線C₂與曲線C₁的交點的橫坐標為
(I )求曲線C₁的普通方程；
(II)設(shè)A、B為曲線C₁與y軸的兩個交點，M為曲線C₁上不同于A、B的任意一點，若直線AM與MB分別與x軸交于P,Q兩點，求證|OP|.|OQ|為定值.

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，、分別為、的中點。
（I）求證：平面；
（Ⅱ）求三棱錐的體積；
（Ⅲ）求平面與平面所成的銳二面角大小的余弦值。

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數(shù)學（理）

第I卷（共60分）

一、選擇題（每小題5分，共60分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

B

C

C

A

A

A

A

D

B

A

A

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空題（每小題4分，共16分）

13．       14．3       15．97        16．③

三、解答題（共74分）

17．（本小題滿分12分）

   （I）的內(nèi)角和。

        ，

   （Ⅱ）

         當即時，取最大值

18．（本題滿分12分）

    記A：該夫婦生一個小孩是患病男孩，B：該夫婦生一個小孩是患病女孩：C：該夫婦生一個小孩是不患病男孩；D：該夫婦生一個小孩是不患病女孩，則

   （I）

   （Ⅱ）顯然，的取值為0，1，2，3

          所以的分布列為

0

1

2

3

          顯然，，故

19．（本題滿分12分）

解法一：（I）證明：連接，設(shè)，連接DE

     三棱柱是正三棱柱，且，

     四邊形是正方形，

     ∴E是的中點，又是的中點，

     ∴

     ∵平面平面，

     ∴平面

（Ⅱ）解：在平面內(nèi)作于點，在面；內(nèi)作于連接。

     ∵平面平面，∴平面，

     ∵是在平面上的射影，

     ∴是二面角的平面角

     設(shè)在正中，

     在中，在中，

     從而

     所以，二面角的平面角的余弦值為

解法二：建立空間直角坐標系，如圖，

（I）證明：連接設(shè)，連接，設(shè)

    則

    平面平面平面

（Ⅱ）解：∵

      設(shè)是平面的法向量，則，且

      故，取，得；

      同理，可求得平面的法向量是

      設(shè)二面角的大小為，則

      所以，二面角的平面角的余弦值為

20．（本題滿分12分）

  （I）

       在上是增函數(shù)，

       在上恒成立，即恒成立。

       （當且僅當時，等號成立），

       所以

 （Ⅱ）設(shè)，則

      （1）當時，最小值為；

      （2）當時，最小值為

21．（本題滿分12分）

  （I）將代入得，整理得

      由得，故

（Ⅱ）當兩條切線的斜率都存在而且不等于時，設(shè)其中一條的斜率為k，

      則另外一條的斜率為

      于是由上述結(jié)論可知橢圓斜率為k的切線方程為

          ①

      又橢圓斜率為的切線方程為

          ②

      由①得

      由②得

      兩式相加得

      于是，所求P點坐標滿足因此，

      當一條切線的斜率不存在時，另一條切線的斜率必為0，此時顯然也有

      所以為定值。

22．（本題滿分14分）

 （I）由知

      當時，，化簡得

        ①

      以代替得

         ②

      兩式相減得

      則，其中

      所以，數(shù)列為等差數(shù)列

（Ⅱ）由，結(jié)合（I）的結(jié)論知

      于是不等式

      因此，欲證原不等式成立，只需證即

      令，則在上恒正，

      在上單調(diào)遞增，當時，恒有

其他解法參照以上評分標準評分

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