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(1)橢圓C:+=1(a＞b＞0)與x軸交于A、B兩點,點P是橢圓C上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別與y軸交于點M、N,求證:AN·BM為定值b²-a².

(2)由(1)類比可得如下真命題:雙曲線C:-=1(a＞0,b＞0)與x軸交于A、B兩點,點P是雙曲線C上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別與y軸交于點M、N,求證:AN·BM為定值.請寫出這個定值(不要求給出解題過程).

已知中心在原點O，焦點F₁、F₂在x軸上的橢圓E經過點C（2，2），且拋物線的焦點為F₁.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關系的運用。第一問中，設出橢圓的方程，然后結合拋物線的焦點坐標得到，又因為，這樣可知得到。第二問中設直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯立方程組可以得到

，再利用可以結合韋達定理求解得到m的值和圓p的方程。

解：(Ⅰ)設橢圓E的方程為

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a²=12,b²=6…………3分

所以橢圓E的方程為…………………………4分

(Ⅱ)依題意，直線OC斜率為1，由此設直線l的方程為y=-x+m，……………5分

 代入橢圓E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    當m=3時，直線l方程為y=-x+3，此時，x₁ +x₂=4，圓心為（2，1），半徑為2，

圓P的方程為（x-2）²+(y-1)²=4；………………………………11分

同理，當m=－3時，直線l方程為y=-x－3，

圓P的方程為（x+2）²+(y+1)²=4

 

已知正數數列{a_n }中，a₁ =2.若關于x的方程 （）對任意自然數n都有相等的實根．

(1)求a₂ ,a₃的值；

(2)求證

【解析】(1)中由題意得△，即,進而可得,. 

(2)中由于，所以，因為，所以數列是以為首項，公比為2的等比數列，知數列是以為首項，公比為的等比數列，利用裂項求和得到不等式的證明。

(1)由題意得△，即,進而可得   

(2)由于，所以，因為，所以數列是以為首項，公比為2的等比數列，知數列是以為首項，公比為的等比數列，于是

,

所以

 

已知整數數列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，且2a_n-1＜a_n-1+a_n+1＜2a_n+1（n∈N，n≥2）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）將數列{a_n}中的所有項依次按如圖所示的規律循環地排成如下三角形數表：

…
依次計算各個三角形數表內各行中的各數之和，設由這些和按原來行的前后順序構成的數列為{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）令cn=2+ban+b•2an-1（b為大于等于3的正整數），問數列{c_n}中是否存在連續三項成等比數列？若存在，求出所有成等比數列的連續三項；若不存在，請說明理由．