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（本小題滿分16分）
隨機抽取某廠的某種產品400件，經質檢，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件．已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設1件產品的利潤（單位：萬元）為
（1）求的分布列和數學期望
（2）經技術革新后，仍有四個等級的產品，但次品率降為，一等品率提高為．如果此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？

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一、選擇題：C D C C     A D B B

1．C【解析】，而，即，

2．D【解析】，，故

3．C【解析】依題意我們知道二年級的女生有380人，那么三年級的學生的人數應該是，即總體中各個年級的人數比例為，故在分層抽樣中應在三年級抽取的學生人數為

4．C  5．A

6．D【解析】不難判斷命題為真命題，命題為假命題，從而上述敘述中只有 _為真命題

7．B【解析】，若函數在上有大于零的極值點，即有正根。當有成立時，顯然有，此時，由我們馬上就能得到參數的范圍為_。

8．B      

二、填空題：

9．【解析】要結束程序的運算，就必須通過整除的條件運算，而同時也整除，那么的最小值應為和的最小公倍數12，即此時有。

10．【解析】按二項式定理展開的通項為，我們知道的系數為，即，也即，而是正整數，故只能取1。

11．【解析】易知點C為，而直線與垂直，我們設待求的直線的方程為，將點C的坐標代入馬上就能求出參數的值為，故待求的直線的方程為。

12．【解析】，故函數的最小正周期。

二、選做題（13―15題，考生只能從中選做兩題）

13．【解析】由解得，即兩曲線的交點為。

14．

15．【解析】依題意，我們知道,由相似三角形的性質我們有,即。

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

16．解：（1）依題意有，則，將點代入得，而，，，故；

（2）依題意有，而，

，

。

17．解：（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；，

，

故的分布列為：

6

2

1

-2

0.63

0.25

0.1

0.02

（2）

（3）設技術革新后的三等品率為，則此時1件產品的平均利潤為

依題意，，即，解得

所以三等品率最多為

18．解：（1）由得，

當得，G點的坐標為，

， ，

過點G的切線方程為即，

令得，點的坐標為，

由橢圓方程得點的坐標為，即，

即橢圓和拋物線的方程分別為和；

（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,

以為直角的只有一個，同理以為直角的只有一個。

若以為直角，設點坐標為，、兩點的坐標分別為和，

。

關于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，

因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。

19．解： _，

對于，

當時，函數在上是增函數；

當時，函數在上是減函數，在上是增函數；

對于，

當時，函數在上是減函數；

當時，函數在上是減函數，在上是增函數。

20．解：（1）在中，

，

而PD垂直底面ABCD，

,

在中，,即為以為直角的直角三角形。

設點到面的距離為,

由有,

即 ，

;

(2),而,

即,，,是直角三角形；

（3）時,,

即,

的面積

21．解：（1）由求根公式，不妨設，得

，

（2）設，則，由

得，，消去，得，是方程的根，

由題意可知，

①當時，此時方程組的解記為

即、分別是公比為、的等比數列，

由等比數列性質可得,,

兩式相減，得

，，

，

，即，

②當時，即方程有重根，，

即，得，不妨設，由①可知

，，

即，等式兩邊同時除以，得，即

數列是以1為公差的等差數列，

綜上所述，

（3）把，代入，得，解得