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(本小題滿分10分)
如圖，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，點B，A，E在同一條直線上.

(1) 求證：△ABD∽△CAE；
(2) 如果AC =BD，AD =BD，設BD = a，求BC的長.

（本小題滿分10分）
在圖15-1至圖15-3中，直線MN與線段AB相交于點O，∠1 = ∠2 = 45°．

（1）如圖15-1，若AO = OB，請寫出AO與BD 的數量關系和位置關系；
（2）將圖15-1中的MN繞點O順時針旋轉得到圖15-2，其中AO = OB．
求證：AC = BD，AC ⊥ BD；
（3）將圖15-2中的OB拉長為AO的k倍得到圖15-3，求的值．

（本小題滿分10分）利民商店經銷甲、乙兩種商品. 現有如下信息:

請根據以上信息，解答下列問題：
（1）甲、乙兩種商品的進貨單價各多少元?
（2）該商店平均每天賣出甲商品500件和乙商品300件．經調查發現，甲、乙兩種商品零售單價分別每降0.1元，這兩種商品每天可各多銷售100件．為了使每天獲取更大的利潤，商店決定把甲、乙兩種商品的零售單價都下降m元. 在不考慮其他因素的條件下，當m定為多少時，才能使商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤之和最大？每天的最大利潤是多少？