Question

（本小題滿分10分）
在圖15-1至圖15-3中，直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O，∠1 = ∠2 = 45°．

（1）如圖15-1，若AO = OB，請(qǐng)寫出AO與BD 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
（2）將圖15-1中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖15-2，其中AO = OB．
求證：AC = BD，AC ⊥ BD；
（3）將圖15-2中的OB拉長為AO的k倍得到圖15-3，求的值．

Answer 1

（1）AO = BD，AO⊥BD
（2）AC = BD，AC ⊥ BD，證明略。
（3）解析:
解：（1）AO = BD，AO⊥BD；

（2）證明：如圖4，過點(diǎn)B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．
又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，
∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE．
又∵∠1 = 45°，∴∠ACO = ∠BEO = 135°．
∴∠DEB = 45°．
∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD．延長AC交DB的延長線于F，如圖4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．
（3）如圖5，過點(diǎn)B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．
又∵∠BOE = ∠AOC ，

∴△BOE ∽ △AOC．
∴．
又∵OB = kAO，
由（2）的方法易得 BE = BD．∴．