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（本題滿分12分）

 已知菱形ABCD的邊長為1．∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點E、F。

1.（1）特殊發現：如圖1，若點E、F分別是邊DC、CB的中點．求證：菱形ABCD對角線AC、BD交點O即為等邊△AEF的外心；

2.（2）若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動．記等邊△AEF的外心為點P．

①猜想驗證：如圖2．猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；

②拓展運用：如圖3，當△AEF面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，試判斷是否為定值．若是．請求出該定值；若不是．請說明理由。

（本題滿分12分）

已知直角坐標系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點的坐標分別為(4,0)，(0,3).現有兩動點P,Q分別從A,C同時出發，點P沿線段AD向終點D運動，點Q沿折線CBA向終點A運動，設運動時間為t秒.

1.(1)填空：菱形ABCD的邊長是   ▲   、面積是  ▲  、  高BE的長是  ▲   ；

2.(2)探究下列問題：

若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2個單位.當點Q在線段BA上時

②  △APQ的面積S關于t的函數關系式，以及S的最大值；

3.（3）在運動過程中是否存在某一時刻使得△APQ為等腰三角形，若存在求出t的值；若不存在說明理由.

（本題滿分12分，其中第（1）小題5分，第（2）小題7分）
已知：如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、BC上，EF垂直平分AC，垂足為O，聯結AF、CE．

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）點P在線段AC上，滿足，求證：CD∥PE．

（本題滿分12分）
已知直角坐標系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點的坐標分別為(4,0)，(0,3).現有兩動點P,Q分別從A,C同時出發，點P沿線段AD向終點D運動，點Q沿折線CBA向終點A運動，設運動時間為t秒.

【小題1】(1)填空：菱形ABCD的邊長是  ▲  、面積是 ▲ 、 高BE的長是 ▲  ；
【小題2】(2)探究下列問題：
若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2個單位.當點Q在線段BA上時
② △APQ的面積S關于t的函數關系式，以及S的最大值；
【小題3】（3）在運動過程中是否存在某一時刻使得△APQ為等腰三角形，若存在求出t的值；若不存在說明理由.