Question

（本題滿分12分，其中第（1）小題5分，第（2）小題7分）
已知：如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、BC上，EF垂直平分AC，垂足為O，聯結AF、CE．

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）點P在線段AC上，滿足，求證：CD∥PE．

Answer 1

（1）四邊形AFCE是菱形，（2）CD//PE.

解析試題分析：證明：（1）∵四邊形ABCD矩形，∴AD∥BC，∴         （2分）
∵EF平分AC，∴AO=OC，∴EO=OF         （1分）
∴四邊形AFCE是平行四邊形        （1分）
∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形.  （1分）
（2）∵EF垂直平分AC，∴AC=2AO，∠AOE=90°       （1分）
∵，∴，∴     （1分）
∵∠EAP=∠OAE，∴△AOE∽△AEP         （1分）
∴∠AEP=∠AOE=90°         （1分）
又∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=90°          （1分）
∴∠AEP=∠D       （1分）
∴CD∥PE        （1分）
考點：平行四邊形的定義及性質，菱形的定義及性質，矩形的定義及性質，相似三角形的定義及判定。
點評：熟練掌握以上幾個特殊圖形的概念及性質，結合已知不難求出結論，對概念性質的理解是解決本題的關鍵，利用相似三角形的性質，得到邊與邊，角與角的關系，本題屬于中檔題，有一定的難度。