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設F₁、F₂分別為橢圓C：（a＞b＞0）的左、右兩個焦點。
（1）若橢圓C上的點A（1，）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）設點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程；
（3）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值，試對雙曲線寫出具有類似特性的性質，并加以證明。

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一、選擇題：BDCCB   BADCA

二、填空題：    11.  2            12.     

13.       14.

三、解答題：

15、解：依題意得：（1）=0，解之得m=0或m=3

∴當m=0或m=3時，復數是實數； ……………4分

（2）≠0，解之得m≠0且m≠3

∴當m≠0且m≠3時，復數是虛數；……………8分

（3），解之得m=3

∴當m=3時，復數是純虛數.      ……………12分

16、解：（1）∵      ∴  兩邊平方相加，

得   即  ．       ………………4分

∴曲線是長軸在x軸上且為10，短軸為8，中心在原點的橢圓．   ………6分

（2）∵∴由代入，

得 ∴                     ……………10分

∴它表示過（0，）和(1, 0)的一條直線．               …………12分

17、解：(Ⅰ)，                                  ………1分

.                               ………2分

            ，.                            ………4分

        橢圓的方程為，                       ………5分

因為                               ………6分

所以離心率.                           ………8分

(Ⅱ)設的中點為，則點.           ………10分

又點K在橢圓上，則中點的軌跡方程為  ………14分

18、解：（1）列出2×2列聯表

說謊

不說謊

合計

女生

15

5

20

男生

10

20

30

合計

25

25

50

…………6分

（2）假設H₀ ＂說謊與性別無關＂，則隨機變量K²的觀測值：

　　                ……………10分

∴，而             ……………………12分

所以有99.5%的把握認為＂說謊與性別有關＂．          ……………14分

19、解：（1）

………………4分

（2），0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，

         …………8分

故Y關于x的線性回歸方程為 y=3.2x+3.6         ………10分

（3）x=5,y=196(萬)

據此估計2005年.該 城市人口總數196(萬)            ………14分

20、解：(1)設橢圓的半焦距為，依題意   ………2分

_∴ ，_∴  所求橢圓方程為．         ………4分

（2）設，．

當軸時，．                                ………5分

當與軸不垂直時，設直線的方程為．        ………6分

由已知，得．                 ………7分

把代入橢圓方程，整理得，………8分

，．………10分

．     ………12分

當且僅當，即時等號成立．當時，，

綜上所述．                                      ………13分

當最大時，面積取最大值．………14分