Question

設F₁、F₂分別為橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點.

（1）若橢圓C上的點A（1，）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；

（2）設點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程；

Answer 1

(1) 橢圓C的方程為=1，焦點F₁（－1，0），F₂（1，0）;

(2) 為所求的軌跡方程.

解析:

（1）橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，   

          得2a=4，即a=2.

又點A（1，）在橢圓上，因此=1得b²=3，于是c²=1.

所以橢圓C的方程為=1,焦點F₁（－1，0），F₂（1，0）

（2）設橢圓C上的動點為K（x₁，y₁），線段F₁K的中點Q（x，y）滿足：

， 即x₁=2x+1，y₁=2y.

因此=1.即為所求的軌跡方程.