猜想與歸納

    你能比較兩個數2006和 2007²⁰⁰⁶的大小嗎?

    為了解決這個問題，我們首先把它抽象成數學問題，寫出它的一般形式，即比較和的大小(是正整數)。然后，我們從分析n=1，n=2，n=3，…這些簡單情形入手，從中發現規律，經過歸納，猜想出結論．

    (1)通過計算，比較下列各組中兩數的大小(在空格中填寫“>”、“=”、“<”)．

    ①1²     2¹；②2³     3²；③3⁴    4³；④4⁵    5⁴；⑤5⁶    6⁵；…

(2)從第(1)題的結果經過歸納，可以猜想出和的大小關系是：

                                  ．

    (3)根據上面歸納猜想得到的一般結論，試比較下列兩個數的大小：

2006²⁰⁰⁷         2007²⁰⁰⁶

心理學研究發現，一般情況下，在一節45分鐘的課中，學生的活動隨學習時間的變化而變化，開始學習時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩定狀態，隨后學生注意力開始分散，經過實驗分析可知，學生的注意力指標數），隨時間x（分鐘）的變化規律如下圖所示（其中AB、BC為線段，CD為雙曲線的一部分）．
（1）分別求出當x≤10，10＜x＜30，以及x≥30時，注意力指標數y與時間x（分鐘）之間的函數關系式；
（2）開始學習后第5分鐘時與第35分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？
（3）某數學內容的課堂學習大致可分為三個環節：即“教師引導，回顧舊知；自主探索，合作交流；總結歸納，鞏固提高．”其中重點環節“自主探索，合作交流”這一過程需要30分鐘才能完成，為了確保效果，要求學習時的注意力指標數不低于40．請問這樣的課堂學習設計安排是否合理？并說明理由．