（本小題滿分10分）

（1）如圖24—1，已知△ABC中，∠BAC＝45°，AB="AC," AD⊥BC于D， 將△ABC沿AD剪開，并分別以AB、AC為軸翻轉(zhuǎn)，點(diǎn)E、F分別是點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到△ABE和△ACF (與△ABC在同一平面內(nèi))．延長(zhǎng)EB、FC相交于G點(diǎn)，證明四邊形AEGF是正方形；
（2）如果⑴中AB≠AC，其他不變，如圖24—2．那么四邊形AEGF是否是正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在⑵中，若BD＝2，DC＝3，求AD的長(zhǎng)．

小明和同桌小聰在課后做作業(yè)時(shí)，對(duì)課本中的一道作業(yè)題，進(jìn)行了認(rèn)真探索。

【作業(yè)題】如圖1，一個(gè)半徑為100m的圓形人工湖如圖所示，弦AB是湖上的一座橋，測(cè)得圓周角∠C=45°,求橋AB的長(zhǎng)。

小明和小聰經(jīng)過(guò)交流，得到了如下的兩種解決方法：

方法一：延長(zhǎng)BO交⊙O與點(diǎn)E，連接AE，得 Rt△ABE，∠E=∠C，∴AB=100；

方法二：作AB的弦心距OH，連接OB, ∴∠BOH=∠C，解Rt△OHB, ∴HB=50，

∴AB=100。

感悟：圓內(nèi)接三角形的一邊和這邊的對(duì)銳角、圓的半徑(或直徑)這三者關(guān)系，

可構(gòu)成直角三角形，從而把一邊和這邊的對(duì)銳角﹑半徑建立一個(gè)關(guān)系式。

（1）問(wèn)題解決：受到(1)的啟發(fā)，請(qǐng)你解下面命題：如圖2，點(diǎn)A（3，0）、B（0，），C為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)A、O、C的⊙E的半徑為2. 求線段OC的長(zhǎng)。

（2）問(wèn)題拓展：如圖3，△ABC中，∠ ACB=75°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連結(jié)EF, 設(shè)⊙O半徑為x, EF為y.

①     y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②求線段EF長(zhǎng)度的最小值。

觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問(wèn)題
在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，過(guò)A作AD⊥BC于D（如圖（1）），則，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即，同理有：，
所以．
即：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素（至少有一條邊），運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素．
根據(jù)上述材料，完成下列各題．

（1）如圖（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，則∠A=______；AC=______；
（2）自從去年日本政府自主自導(dǎo)“釣魚島國(guó)有化”鬧劇以來(lái)，我國(guó)政府靈活應(yīng)對(duì)，現(xiàn)如今已對(duì)釣魚島執(zhí)行常態(tài)化巡邏．某次巡邏中，如圖（3），我漁政204船在C處測(cè)得A在我漁政船的北偏西30°的方向上，隨后以40海里/時(shí)的速度按北偏東30°的方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得釣魚島A在的北偏西75°的方向上，求此時(shí)漁政204船距釣魚島A的距離AB．（結(jié)果精確到0.01，）

如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”

（1）請(qǐng)用直尺與圓規(guī)畫一個(gè)“好玩三角形”；

（2）如圖1，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，，求證：⊿ABC是“好玩三角形”；

（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a, ∠ABC=2β，點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿折線AB-BC和AD-DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路程為S

①當(dāng)β=45°時(shí)，若⊿APQ是“好玩三角形”，試求的值

②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi)，點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有且只有一個(gè)⊿APQ能成為“好玩三角形”請(qǐng)直接寫出tanβ的取值范圍。

（4）本小題為選做題

依據(jù)（3）中的條件，提出一個(gè)關(guān)于“在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，tanβ的取值范圍與⊿APQ是“好玩三角形”的個(gè)數(shù)關(guān)系的真命題（“好玩三角形”的個(gè)數(shù)限定不能為1）。