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（本小題共14分）

張先生家住H小區，他在C科技園區工作，從家開車到公司上班有L1，L2兩條路線（如圖），L1路線上有A1，A2，A3三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為；L2路線上有B1，B2兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，．

（Ⅰ）若走L1路線，求最多遇到1次紅燈的概率；

（Ⅱ）若走L2路線，求遇到紅燈次數的數學期望；

（Ⅲ）按照“平均遇到紅燈次數最少”的要求，請你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由．

（本小題共14分）

已知函數

   （1）試用含有a的式子表示b，并求的單調區間；

   （2）設函數的最大值為，試證明不等式：

 （3）首先閱讀材料：對于函數圖像上的任意兩點，如果在函數圖象上存在點，使得在點M處的切線，則稱AB存在“相依切線”特別地，當時，則稱AB存在“中值相依切線”。

請問在函數的圖象上是否存在兩點，使得AB存在“中值相依切線”？若存在，求出一組A、B的坐標；若不存在，說明理由。

(本小題共14分)已知是由滿足下述條件的函數構成的集合：對任意，①方程有實數根；②函數的導數滿足．

（Ⅰ）判斷函數是否是集合中的元素，并說明理由；

（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性質：若的定義域為，則對于任意，都存在，使得等式成立．試用這一性質證明：方程有且只有一個實數根；

（Ⅲ）對任意，且，求證：對于定義域中任意的，，，當，且時，.

（本小題共14分）
張先生家住H小區，他在C科技園區工作，從家開車到公司上班有L1，L2兩條路線（如圖），L1路線上有A1，A2，A3三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為；L2路線上有B1，B2兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，．

（Ⅰ）若走L1路線，求最多遇到1次紅燈的概率；
（Ⅱ）若走L2路線，求遇到紅燈次數的數學期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到紅燈次數最少”的要求，請你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由．

(本大題共14分)一袋中裝有分別標記著1，2，3，4數字的4只小球，每次從袋中取出一只球，設每只小球被取到的可能性相同.(1)若每次取出的球不放回袋中，求恰好第三次取到標號為3的球的概率；(2)若每次取出的球放回袋中，然后再取出一只球，現連續取三次球，若三次取出的球中標號最大的數字為，求的概率分布列與期望.