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等差數列{a}是遞增數列，前n項和為S_n，且a₁，a₂，a₅成等比數列，S5=a32．
（1）求通項a_n；
（2）令b_n=

1

2

(

an+1

an

+

an

an+1

)，設T_n=b₁+b₂+…+b_n-n，若M＞T_n＞m對一切正整數n恒成立，求實數M、m的取值范圍；
（3）試構造一個函數g（x），使f(n)=a1g(1)+a2g(2)+…+ang(n)＜

1

3

(n∈N+)恒成立，且對任意的m∈(

1

4

，

1

3

)，均存在正整數N，使得當n＞N時，f（n）＞m．

（2012•蚌埠模擬）已知函數f（x）=

2x

x+1

，數列{a_n}滿足a₁=2，且a_n=

1

2

f(an-1)(n∈N*，n≥2)．
（1）求證：數列{

1

an

}是等差數列；
（2）對一切正整數n，令S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求S_n．

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n=

1

2

（3n+S_n）對一切正整數n成立
（1）證明：數列{a_n+3}是等比數列；
（2）求出數列{a_n}的通項公式．