在正方形中，，點是（端點除外）上一個動點，以為邊作正方形，連接。   

（1）的面積是否變化？若不變化，請求出其面積；若變化，請說明理由。

（2）探究：與的關系。

（3）點在何處時四邊形的面積最小？最小值是多少？

將邊長為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊（折痕EG分別與AB、DC交于點E、G），使點B落在AD邊上的點 F處，FN與DC交于點M，連接BF與EG交于點P．
（1）當點F與AD的中點重合時（如圖1）：
①△AEF的邊AE=______cm，EF=______cm，線段EG與BF的大小關系是EG______BF；
（填“＞”、“=”或“＜”）
②求△FDM的周長．
（2）當點F在AD邊上除點A、D外的任意位置時（如圖2）：
③試問第（1）題中線段EG與BF的大小關系是否發生變化？請證明你的結論；
④當點F在何位置時，四邊形AEGD的面積S最大？最大值是多少？