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如圖，在△ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上的任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q．
（1）求四邊形AQMP的周長；
（2）寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）；
（3）M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形并證明你的結論．

如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為1的圓的圓心O在坐標原點，且與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點D，與直線y=x交于點M、N，且MA、NC分別與圓O相切于點A和點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸交x軸于點E，連接DE，并延長DE交圓O于F，求EF的長；
（3）過點B作圓O的切線交DC的延長線于點P，判斷點P是否在拋物線上，說明理由．

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知⊙O半徑為1，且與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．過點A和點C分別作⊙O的切線MA、NC，它們分別與直線y=x交于點M、N，
（1）寫出點M、D、N的坐標；
（2）拋物線過點M、D、N，它的對稱軸交x軸于點E，連接DE，并延長DE交圓O于F，求cos∠BDF的值與EF的長．
（3）探索：將⊙O作怎樣的平移，才能使⊙O與x軸相切且它的圓心O在拋物線上．

如圖，在△ABC中，∠ACB=2∠B．
（1）根據要求作圖：
①作∠ACB的平分線交AB于D；②過D點作DE⊥BC，垂足為E．
（2）在（1）的基礎上寫出一對全等三角形和一對相似比不為1的相似三角形：△≌△；△∽△．請選擇其中一對加以證明．