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已知遞增等差數列滿足：，且成等比數列．

（1）求數列的通項公式；

（2）若不等式對任意恒成立，試猜想出實數的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的運用以及數列求和的運用。第一問中，利用設數列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于，利用當時，；當時，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設數列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價于，

當時，；當時，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對任意恒成立．

方法一：數學歸納法．

當時，，成立．

假設當時，不等式成立，

當時，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調性證明．

要證 

只要證  ，  

設數列的通項公式，        …………10分

，    …………12分

所以對，都有，可知數列為單調遞減數列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．

（本題滿分18分，第（1）小題6分，第（2）小題6分，第（3）小題6分）

若數列滿足：是常數），則稱數列為二階線性遞推數列，且定義方程為數列的特征方程，方程的根稱為特征根； 數列的通項公式均可用特征根求得：

①若方程有兩相異實根，則數列通項可以寫成，（其中是待定常數）；

②若方程有兩相同實根，則數列通項可以寫成，（其中是待定常數）；

再利用可求得，進而求得．

根據上述結論求下列問題：

（1）當，（）時，求數列的通項公式；

（2）當，（）時，求數列的通項公式；

（3）當，（）時，記，若能被數整除，求所有滿足條件的正整數的取值集合．