已知二次函數圖象的頂點坐標為M（1，0），直線y=x+m與該二次函數的圖象交于A，B兩點，其中A點的坐標為（3，4），B點在y軸上．
（1）求m的值及這個二次函數的解析式；
（2）在x軸上找一點Q，使△QAB的周長最小，并求出此時Q點坐標；
（3）若P（a，0）是x軸上的一個動點，過P作x軸的垂線分別與直線AB和二次函數的圖象交于D、E兩點．
①設線段DE的長為h，當0＜a＜3時，求h與a之間的函數關系式；
②若直線AB與拋物線的對稱軸交點為N，問是否存在一點P，使以M、N、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由．