題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分16分)已知函數
.（Ⅰ）當
時，求證：函數
在
上單調遞增；（Ⅱ）若函數
有三個零點，求
的值；
（Ⅲ）若存在
，使得
，試求
的取值范圍.
(本小題滿分16分) 設
為實數，函數
. (1)若
，求的取值范圍； (2)求
的最小值； (3)設函數
，求不等式
的解集.
(本小題滿分16分)
按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為
元，如果他賣出該產品的單價為
元，則他的滿意度為
；如果他買進該產品的單價為
元，則他的滿意度為
.如果一個人對兩種交易(賣出或買進)的滿意度分別為
和
，則他對這兩種交易的綜合滿意度為
.
現假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品A、B的單價分別為
元和
元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為
，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為
(1)求和關于、的表達式；當
時，求證：=；
(2)設，當、分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？ (3)記(2)中最大的綜合滿意度為
，試問能否適當選取、的值，使得
和
同時成立，但等號不同時成立？試說明理由。
(本小題滿分16分)已知⊙
和點
.
（Ⅰ）過點
向⊙
引切線
，求直線的方程；
（Ⅱ）求以點為圓心，且被直線
截得的弦長4的⊙的方程；
（Ⅲ）設
為（Ⅱ）中⊙上任一點，過點向⊙引切線，切點為Q. 試探究：平面內是否存在一定點
，使得
為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由.
(本小題滿分16分)已知⊙
和點
.
（Ⅰ）過點
向⊙
引切線
，求直線的方程；
（Ⅱ）求以點為圓心，且被直線
截得的弦長為 4的⊙的方程；
（Ⅲ）設
為（Ⅱ）中⊙上任一點，過點向⊙引切線，切點為Q. 試探究：平面內是否存在一定點
，使得
為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由.
1．2 2．有的素數不是奇數 3．
4．0 5．
6．
7．
8．[0，2] 9．
10．－3 11．-1
12．④ 13．
14．①③
15．解：（1）因為
，所以
，
即 
而 
，所以
．故 
（2）因為 
所以 
．
由
得 
所以 
從而
故
的取值范圍是
．
16．（1）證明：因為PB^平面ABCD，MA^平面ABCD，
所以PB∥MA．
因PBÌ平面BPC，MA (/平面BPC，
所以MA∥平面BPC．同理DA∥平面BPC，
因為MAÌ平面AMD，ADÌ平面AMD，
MA∩AD＝A，所以平面AMD∥平面BPC．
（2）連接AC，設AC∩BD＝E，取PD中點F，
連接EF，MF．
因ABCD為正方形，所以E為BD中點．
因為F為PD中點，所以EF∥=PB．
因為AM∥=PB，所以AM∥=EF．所以AEFM為平行四邊形．所以MF∥AE．
因為PB^平面ABCD，AEÌ平面ABCD，所以PB^AE．所以MF^PB．
因為ABCD為正方形，所以AC^BD．
所以MF^BD．所以MF^平面PBD．又MFÌ平面PMD．
所以平面PMD^平面PBD．
17．解：（1）
令
則
由于
，則
在
內的單調遞增區間為
和
（2）依題意，
由周期性 
（3）函數
為單調增函數，且當
時，
，
此時有
當
時，由于
，而
，則有
，
即
，即
而函數的最大值為
，且為單調增函數，
則當
時，恒有，
綜上，在
內恒有，所以方程
在內沒有實數解．
18．解：（1）由題意得:（100-x）? 3000 ?(1+2x%) ≥100×3000，
即x2－50x≤0，解得0≤x≤50， 又∵x＞0 ∴0＜x≤50；
（2）設這100萬農民的人均年收入為y元，
則y= =
即y=－[x－25(a+1)]2+3000+475(a+1)2 (0<x≤50)
（i）當0<25(a+1)≤50，即0＜a≤1，當x=25(a+1)時，y最大；
（ii）當25(a+1)＞50，即a ＞1，函數y在（0,50]單調遞增，∴當x=50時，y取最大值．
答：在0＜a≤1時，安排25(a+1)萬人進入企業工作，在a＞1時安排50萬人進入企業
工作，才能使這100萬人的人均年收入最大．
19．（1）解：由①知：
；由③知：
，即
； ∴
(2 ) 證明：由題設知：
；
由
知
，得
，有
；
設
，則
，
；
∴
即
∴函數
在區間[0,1]上同時適合①②③.
(3) 證明：若
,則由題設知:
,且由①知
,
∴由題設及③知：
,矛盾；
若
,則則由題設知：
, 且由①知
,
∴同理得：
,
矛盾；故由上述知: 
．
20．解： (1) 由題設知：
對定義域中的
均成立.
∴
.
即
∴
對定義域中的均成立.
∴
即
（舍去）或
. ∴ .
(2) 由(1)及題設知：
，
設
，
∴當
時，
∴
.
當
時，
，即
.
∴當時，
在
上是減函數.
同理當
時，在上是增函數.
(3) 由題設知：函數的定義域為
，
∴①當
時，有. 由(1)及(2)題設知：在
為增函數，由其值域為知
（無解）；
②當
時，有
.由(1)及(2)題設知：在為減函數, 由其值域為知
得
，
.
(4) 由(1)及題設知：
，
則函數
的對稱軸
，
∴
.
∴函數在
上單調減.
∴
是最大實數使得恒有
成立，
∴
,即
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