已知定義在正實數集R上的函數y=f（x）滿足：①對任意a，b∈R都有f=f（a）+f（b）②當x＞1時，f（x）＜0   ③f（3）=-1
（1）求f（1）的值
（2）證明函數y=f（x）在R上為單調減函數
（3）若集合A={（p，q）|f（p²+1）-f（5q）-2＞0，p，q∈R+}，集合B={（p，q）|f（）+=0，p，q∈R₊}，問是否存在p，q，使A∩B≠∅，若存在，求出p，q的值，不存在則說明理由．

已知f（x）=a²x-

1

2

x³，x∈（-2，2）為正常數．
（1）可以證明：定理“若a、b∈R^*，則

a+b

2

≥

ab

（當且僅當a=b時取等號）”推廣到三個正數時結論是正確的，試寫出推廣后的結論（無需證明）；
（2）若f（x）＞0在（0，2）上恒成立，且函數f（x）的最大值大于1，求實數a的取值范圍，并由此猜測y=f（x）的單調性（無需證明）；
（3）對滿足（2）的條件的一個常數a，設x=x₁時，f（x）取得最大值．試構造一個定義在D={x|x＞-2，且x≠4k-2，k∈N}上的函數g（x），使當x∈（-2，2）時，g（x）=f（x），當x∈D時，g（x）取得最大值的自變量的值構成以x₁為首項的等差數列．