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（本小題共12分）

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁=1，AB=2，AC=1，，D為BC的中點。

   （I）求證：平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B；

   （II）求直線DA₁與平面BCC₁B₁所成角的大小；

   （III）求二面角A—DC₁—C的大小。

（本小題共12分）

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁=1，AB=2，AC=1，，D為BC的中點。

   （I）求證：平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B；

   （II）求直線DA₁與平面BCC₁B₁所成角的大小；

   （III）求二面角A—DC₁—C的大小。

（本小題共10分）在直三棱柱中，， ，求與側面所成的角。

如圖，在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，為棱上一點，且平面平面.

（Ⅰ）求證：點為棱的中點；

（Ⅱ）判斷四棱錐和的體積是否相等，并證明。

【解析】本試題主要考查了立體幾何中的體積問題的運用。第一問中，

易知，面。由此知：從而有又點是的中點，所以，所以點為棱的中點.

（2）中由A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD，D為BB₁中點，可以得證。

（1）過點作于點，取的中點，連。面面且相交于，面內的直線，面。……3分

又面面且相交于，且為等腰三角形，易知，面。由此知：，從而有共面，又易知面，故有從而有又點是的中點，所以，所以點為棱的中點.               …6分

（2）相等．ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥BC，又A₁B₁⊥B₁C₁，BC⊥AB，

∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD（9分）∴V_A1-B1C1CD=1 /3 S_B1C1CD•A₁B₁=1/ 3 ×1 2 (B₁D+CC₁)×B₁C₁×A₁B₁VC-A₁ABD=1 /3 S_A1ABD•BC=1 /3 ×1 2 (BD+AA₁)×AB×BC∵D為BB₁中點，∴V_A1-B1C1CD=V_C-A1ABD

 (12分)如圖，三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點,平面ABC

（Ⅰ）求證：AB₁⊥平面A₁BD；

（Ⅱ）求二面角A－A₁D－B的余弦值；

（Ⅲ）求點C到平面A₁BD的距離.