(12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點,
平面ABC
（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的余弦值；
（Ⅲ）求點C到平面A1BD的距離.
（1）見解析（2）二面角
的余弦值為
．（3）
．
【解析】
試題分析：(1)證明線面垂直，根據(jù)其判定定理，只須證明AB1垂直這個面內(nèi)的兩條相交直線即可，本小題顯然應證：
.
(2)利用空間向量法求二面角，先求出二面角兩個面的法向量，然后再利用
求解即可.
(3)利用空間向量法點C到平面
的距離根據(jù)
來解即可.
（1）取
中點
，連結(jié)
． 
為正三角形，
．
在正三棱柱
中， 平面
平面
，
平面．
取
中點
，以為原點，
，
，
的方向為
軸的正方向建立空間直角坐標系，則
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
． 
平面．
（2）設(shè)平面
的法向量為
．
，
．
，
，
令
得
由（1）知
平面，
為平面的法向量．
二面角的余弦值為．
（3）由（2），
為平面法向量， 
．
點
到平面的距離．
考點：空間向量法證明線面垂直，求二面角，點到直線的距離，線面垂直的判定定理.
點評：掌握線線、線面、面面的平行與垂直判斷與性質(zhì)是解決此類問題的前提.
優(yōu)翼小幫手同步口算系列答案科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年湖北省高三下學期第二次適應性考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
（本題滿分12分）如圖,在三棱柱
中,側(cè)面
底面
,
,
,且
為
中點.
(I)證明:
平面;
(II)求直線
與平面
所成角的正弦值;
(III)在
上是否存在一點
,使得
平面,若不存在,說明理由;若存在,確定點的位置.
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科目：高中數(shù)學 來源：2011年山東省高一入學檢測數(shù)學試卷 題型：解答題
（（本小題12分）
如圖, 在三棱柱
中, 
底面
，
, 
,
, 點D是
的中點.
(1) 求證
;
(2) 求證
平面
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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年河南省商丘市高三第二次模擬考試數(shù)學理卷 題型：解答題
（本小題滿分12分）
如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長是
，D是AC的中點．
（Ⅰ）求證：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1－BD－A的大小；
（Ⅲ）求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學 來源：2010河北省高三押題考試數(shù)學卷 題型：解答題
（本小題滿分12分）
如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1
面ABC，BCAC，BC=AC=2，D為AC的中點。
（1）求證：AB1//面BDC1；
（2）若AA1=3，求二面角C1—BD—C的余弦值；
（3）若在線段AB1上存在點P，使得CP面BDC1，試求AA1的長及點P的位置。
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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年山東省高一第一次階段檢測數(shù)學試卷 題型：解答題
（本小題12分）
如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點D是AB的中點.
（1）求證：AC⊥B1C；
（2）求證：AC 1∥平面CDB1.
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