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（本小題滿分14分）

某公司2009年9月投資14400萬元購得上海世界博覽會某種紀念品的專利權及生產設備，生產周期為一年．已知生產每件紀念品還需要材料等其它費用20元，為保證有一定的利潤，公司決定紀念品的銷售單價不低于150元，進一步的市場調研還發現：該紀念品的銷售單價定在150元到250元之間較為合理（含150元及250元）．并且當銷售單價定為150元時，預測年銷售量為150萬件；當銷售單價超過150元但不超過200元時，預測每件紀念品的銷售價格每增加1元，年銷售量將減少1萬件；當銷售單價超過200元但不超過250元時，預測每件紀念品的銷售價格每增加1元，年銷售量將減少1.2萬件．

根據市場調研結果，設該紀念品的銷售單價為（元），年銷售量為（萬件），平均每件紀念品的利潤為（元）．

⑴求年銷售量為關于銷售單價的函數關系式；

⑵該公司考慮到消費者的利益，決定銷售單價不超過200元，問銷售單價為多少時，平均每件紀念品的利潤最大？

已知數列的前n項和，數列有， 

（1）求的通項；

（2）若，求數列的前n項和．

【解析】第一問中，利用當n=1時，

        當時，

得到通項公式

第二問中，∵   ∴∴數列  是以2為首項，2為公比的等比數列，利用錯位相減法得到。

解：（1）當n=1時，                      ……………………1分

        當時， ……4分

        又

        ∴                            ……………………5分

（2）∵   ∴        

     ∴                 ……………………7分

     又∵，    ∴ 

     ∴數列  是以2為首項，2為公比的等比數列，

     ∴                          ……………………9分

     ∴                        

     ∴     ①

          ②

     ①-②得：

 ∴