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2013年4月20日8點02分四川省雅安市蘆山縣（北緯30.3度，東經103.0度）
發生7.0級地震，此次地震中，受災面積大，傷亡慘重，醫療隊到達后，都會選擇一個合理的位置，使傷員能在最短的時間內得到救治．醫療隊首先到達O點，設有四個鄉鎮，分別位于一個矩形ABCD的四個頂點A，B，C，D，為了救災及災后實際重建需要．需要修建三條小路OE、EF和OF，要求O是AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，AB=50千米，BC=25

3

千米且∠EOF=90°，如圖所示．
（1）設∠BOE=α，試將△OEF的周長表示成α的函數關系式，并求出此函數的定義域；
（2）經核算，三條路每千米鋪設費用均為400元，試問如何設計才能使鋪路的總費用最低？并求出最低總費用．

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我市為增強市民的環境保護意識，面向全市征召義務宣傳志愿者．現從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡（單位：歲）分組：第1組[20，25），第2組[25，30），第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場的宣傳活動，應從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？
（2）請根據頻率分布直方圖，估計這100名志愿者樣本的平均數；
（3）在（1）的條件下，該市決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率．
（參考數據：22.5×0.01+27.5×0.07+32.5×0.06+37.5×0.04+42.5×0.02=6.45）

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一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．）

1．；  2．；   3．；  4．；  5． 11；  6． 210； 7． 16；   8． 3；  9．； 10．； 11． 7； 12．； 13．；  14．（結果為，不扣分）.

二、解答題：（本大題共6小題,共90分．）

15．（本小題滿分14分）

解：（1）50；0.04；0.10 ．    ………… 6分

       （2）如圖．      ……………… 10分

       （3）在隨機抽取的名同學中有名

出線,．      …………… 13分

答：在參加的名中大概有63名同學出線．      

   ………………… 14分

16．（本小題滿分14分）

解：真，則有，即．                    ------------------4分

真，則有，即．     ----------------9分

若、中有且只有一個為真命題，則、一真一假．

①若真、假，則，且，即≤；   ----------------11分

②若假、真，則，且，即3≤．    ----------------13分

故所求范圍為：≤或3≤．                          -----------------14分

17．（本小題滿分15分）

解：（1）設在（1）的條件下方程有實根為事件．

數對共有對．                                   ------------------2分

若方程有實根，則≥，即．                 -----------------4分

則使方程有實根的數對有 共對．                                                         ------------------6分

所以方程有實根的概率．                          ------------------8分

（2）設在（2）的條件下方程有實根為事件．

，所以．

-------------10分

方程有實根對應區域為，．          --------------12分

所以方程有實根的概率．------------------15分

18．（本小題滿分15分）

解：（1）易得

．當時，在直角中，，故．所以，．     ------------4分

所以．

所以異面直線與所成角余弦值為．- -----7分

（2）設直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為.

則由．得可取，-------11分

， ，------------13分

，，． ，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．         ------------------------15分

19．（本小題滿分16分）

解：（1）設關于l的對稱點為，則且，

解得，，即，故直線的方程為．

由，解得．                       ------------------------5分

（2）因為，根據橢圓定義，得

，所以．又，所以．所以橢圓的方程為．                                        ------------------------10分

（3）假設存在兩定點為，使得對于橢圓上任意一點（除長軸兩端點）都有（為定值），即?，將代入并整理得…（＊）．由題意，（＊）式對任意恒成立，所以，解之得 或．

所以有且只有兩定點，使得為定值．   ---------------16分

20．（本小題滿分16分）

解：（1）．                        ------------------------2分

因為，令得；令得．所以函數的增區間為，減區間為．                                           ------------------------5分

（2）因為，設，則．----------6分

設切點為，則切線的斜率為，切線方程為即，由點在切線上知，化簡得，即．

所以僅可作一條切線，方程是．              ------------------------9分

（3），．                  

在上恒成立在上的最小值．--------------11分

①當時，在上單調遞減，在上最小值為，不符合題意，故舍去；               ------------------------12分

②當時，令得．

當時，即時，函數在上遞增，的最小值為；解得．                                       ------------------------13分

當時，即時，函數在上遞減，的最小值為，無解；                                                -----------------------14分

當時，即時，函數在上遞減、在上遞增，所以的最小值為，無解．                ------------------------15分

綜上，所求的取值范圍為．                     ------------------------16分