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已知函數．

（I）當時，求函數的極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（II） 若函數的圖象上任意不同的兩點連線的斜率都小于2，求證：；

（III）對任意的圖像在處的切線的斜率為，求證：是成立的充要條件．  

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（本小題滿分16分）已知函數．
（I）當時，求函數的極值；
（II） 若函數的圖象上任意不同的兩點連線的斜率都小于2，求證：；
（III）對任意的圖像在處的切線的斜率為，求證：是成立的充要條件．

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1. －               2.             3.             4.

5.                6. 或    7. ④             8.

9.    10. （２，４］       11. （28，44）      12.

13. 5                14. m>

15.（1）【證明】∵△PAB中， D為AB中點，M為PB中點，∴

∵DM平面，PA平面，∴平面            ……3分

（2）【證明】∵D是AB的中點，△PDB是正三角形，AB=20，

∴                ……4分

∴△PAB是直角三角形，且AP⊥PB，……5分

又∵AP⊥PC，……6分

∴AP⊥平面PBC．∴AP⊥BC．……8分

又∵AC⊥BC， AP∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．……9分

∵ ∴平面PAC⊥平面ABC．……10分

（3）【解】由（1）知，由（2）知PA⊥平面PBC， 

∴DM⊥平面PBC．……11分

∵正三角形PDB中易求得，

 ……13分

∴……14分

16．解：（Ⅰ）∵

   ………………………………………………………………4分

又∵   ……………………………………6分

即 

∴y_max=5，  y_min=3   …………………………………………………………………8分

（Ⅱ）∵  ……………………………10分

又∵P為q的充分條件 ∴   ………………………………………13分 

解得  3<m<5    ……………………………………………………………………14分

17. 解：（1）由題意知，需加工G型裝置4000個，加工H型裝置3000個，所用工人分別為x人，（216－x）人.

∴g（x）=，h（x）=，

即g（x）=，h（x）=（0＜x＜216，x∈N^*）. ……………………4分

（2）g（x）－h（x）=－=.

∵0＜x＜216，

∴216－x＞0.

當0＜x≤86時，432－5x＞0，g（x）－h（x）＞0，g（x）＞h（x）；

當87≤x＜216時，432－5x＜0，g（x）－h（x）＜0，g（x）＜h（x）.

∴f（x）= ……………………8分

（3）完成總任務所用時間最少即求f（x）的最小值.

當0＜x≤86時，f（x）遞減，

∴f（x）≥f（86）==.

∴f（x）_min=f（86），此時216－x=130.

當87≤x＜216時，f（x）遞增，

∴f（x）≥f（87）==.

∴f（x）_min=f（87），此時216－x=129.

∴f（x）_min=f（86）=f（87）=.

∴加工G型裝置，H型裝置的人數分別為86、130或87、129……………………14分

18. （Ⅰ）由題設知

由于，則有，所以點的坐標為……..2分

故所在直線方程為…………3分

所以坐標原點到直線的距離為

又，所以  解得： …………5分

所求橢圓的方程為…………6分

（Ⅱ）由題意可知直線的斜率存在，設直線斜率為

直線的方程為，則有…………8分

設，由于、、三點共線，且

根據題意得,解得或…………14分

又在橢圓上，故或

解得,綜上，直線的斜率為或     …………16分

19. 解：（1）由已知，（，），

即（，），且．

∴數列是以為首項，公差為1的等差數列．

∴．

（2）∵，∴，要使恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立．

（?）當為奇數時，即恒成立，

當且僅當時，有最小值為1，

∴．

（?）當為偶數時，即恒成立，

當且僅當時，有最大值，

∴．

即，又為非零整數，則．

綜上所述，存在，使得對任意，都有．

20.解：（I）                            2分

由得，或

而，列出下表

0

―

0

+

0

―

遞減

極小值

遞增

極大值

遞減

所以，當時，取得極小值，極小值等于；

當時，取得極大值，極大值等于；                 6分

（II）設函數、，    不妨設

      （注：若直接用來證明至少扣1分）                           10分

（III）時，

                                                                16分