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如圖,四棱錐的底面是邊長為的菱形,,平面,.

（1）求直線PB與平面PDC所成的角的正切值;
（2）求二面角A－PB－D的大小.

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如圖四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，設E為BC的中點，二面角P-DE-A為45°．
（1 ） 求點A到平面PDE的距離；
（2 ） 在PA上確定一點F，使BF∥平面PDE；
（3 ） 求平面PDE與平面PAB所成的不大于直二面角的二面角的大小（用反三角函數表示）．

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如圖四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，設E為BC的中點，二面角P-DE-A為45°．
（1 ） 求點A到平面PDE的距離；
（2 ） 在PA上確定一點F，使BF∥平面PDE；
（3 ） 求平面PDE與平面PAB所成的不大于直二面角的二面角的大小（用反三角函數表示）．

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三、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

B

B

D

B

D

A

B

C

B

四、填空題

13．2      14. 31    15.     16.  2.

三、解答題

17．解：（Ⅰ）．

的最小正周期．

（Ⅱ）由解得

∴ 的單調遞增區間為。

18．（I）解：記這兩套試驗方案在一次試驗中均不成功的事件為A，則至少有一套試驗成功的事件為    由題意，這兩套試驗方案在一次試驗中不成功的概率均為1－p.

所以，，    從而，

令

   （II）解：ξ的可取值為0，1，2.

所以ξ的分布列為

ξ

0

1

2

P

0.49

0.42

0.09

ξ的數學期望 

19．（Ⅰ）取DC的中點E.

∵ABCD是邊長為的菱形,，∴BE⊥CD.

∵平面, BE平面，∴ BE.

∴BE⊥平面PDC.∠BPE為求直線PB與平面PDC所成的角. 

∵BE=，PE=,∴==.  

（Ⅱ）連接AC、BD交于點O，因為ABCD是菱形，所以AO⊥BD.

∵平面, AO平面，

∴ PD. ∴AO⊥平面PDB.

作OF⊥PB于F，連接AF，則AF⊥PB.

故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角.

∵AO=，OF=，∴=.

20．解: （Ⅰ）在恒成立,

所以,.

又在恒成立,

所以 ,. 

從而有.

故,.

 （Ⅱ）令,

    則

所以在上是減函數,在上是增函數,

從而當時,.

所以方程在只有一個解.

21．證明：由是關于x的方程的兩根得

。

，

是等差數列。

（2）由（1）知

。

。

又符合上式， 。

（3） ①

  ②

①―②得 。

。

22．解：（1）由題意

   （2）由（1）知：（x>0）

令h(x)=px²－2x+p.要使g(x)在（0，+∞）為增函數，只需h(x)在（0，+∞）滿足：h(x)≥0恒成立。即px²－2x+p≥0。

上恒成立

又

所以

   （3）證明：①即證 lnx－x+1≤0  (x>0)，

設.

當x∈（0，1）時，k′(x)>0，∴k(x)為單調遞增函數；

當x∈（1，∞）時，k′(x)<0，∴k(x)為單調遞減函數；

∴x=1為k(x)的極大值點，

∴k(x)≤k(1)=0.

即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.

②由①知lnx≤x－1,又x>0，