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已知橢圓

x2

16

+

y2

12

=1，點P為其上一點，F₁、F₂為橢圓的焦點，Q為射線F₁P延長線上一點，且|PQ|=|PF₂|，設R為F₂Q的中點．
（1）當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；
（2）設點R形成的曲線為C，直線l：y=k（x+4

2

）與曲線C相交于A、B兩點，若∠AOB=90°時，求k的值．

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一、 C B C B B AC D A B    C D

二、13.           14.              15.         16.3

三、17（Ⅰ）

            = =

由得，或

由得 或.

故函數的零點為和.         ……………………………………6分

（Ⅱ）由，得

由得 .又

由得

         ， 

                   ……………………………………12分

18. 由三視圖可知：，底面ABCD為直角梯形,， BC=CD=1,AB=2

（Ⅰ）∵  PB⊥DA，梯形ABCD中，PB=BC=CD=1,AB=2 ∴BD=

又可得DA=，∴DA⊥BD ，∴DA⊥平面PDB，

∴  AD⊥PD                                   ……………………………4分

 (Ⅱ)  CM∥平面PDA  理由如下：

取PB中點N,連結MN，DN，可證MN∥CD且MN＝CD，∴CM∥DN，∴CM∥平面PDA

                                                                 …………8分

 (Ⅲ)            

                                                            ……………12分

19. （Ⅰ）九年級（1）班應抽取學生10名； ………………………2分

（Ⅱ）通過計算可得九（1）班抽取學生的平均成績為16.5，九（2）班抽取學生的平均成績為17.2.由此可以估計九（1）班學生的平均成績為16.5， 九（2）班學生的平均成績為      17.2                                                     ………………………6分

（Ⅲ）基本事件總數為15，滿足條件的事件數為9 ，故所求事件的概率為

………………………………12分

20. （Ⅰ）證明 設

相減得  

注意到  

有        

_即                           …………………………………………5分

（Ⅱ）①設

由垂徑定理，

即       

化簡得  

當與軸平行時，的坐標也滿足方程.

故所求的中點的軌跡的方程為；

    …………………………………………8分

②      假設過點P作直線與有心圓錐曲線交于兩點，且P為的中點，則

由于 

直線，即，代入曲線的方程得

故這樣的直線不存在.                      ……………………………………12分

21.（Ⅰ）函數的定義域為

由題意易知，   得    ;

                             當時，當時，

故函數的單調增區間為，單調減區間為.   …………………………6分

   （Ⅱ）

①     當時，在遞減，無極值.

②     當時，由得

當時，當時，

時，函數的極大值為

_;

函數無極小值.                                 …………………………13分

22.（Ⅰ）            

                          …………………………………………4分

（Ⅱ） ,

          ……………………………8分

 （Ⅲ）假設

記，可求

故存在，使恒成立.

                                   ……………………………………13分