Question

已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l分別交x、y軸于A、B兩點，O為原點，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求證：若曲線C與直線l相切，則有（a-2）（b-2）=2；
（2）求線段AB中點的軌跡方程；
（3）求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知圓C：x²+y²-2x-2y+1=0，直線交x軸、y軸于A、B兩點|OA|=a，|OB|=b，我們可以分別求出直線的一般方程，和圓的標準方程，然后根據直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑得到結論；
（2）設線段AB的中點M（x，y），代入（1）的結論，整理后，即可得到答案；
（3）S△AOB=

1

2

|ab|，結合（1）的結論，及均值不等式，即可得到答案．

解答：解：（1）由題意知A（a，0），B（0，b），∴直線l方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0
曲線C表示一個圓，圓心C（1，1），半徑r=1…（2分）∵直線與圓相切，∴

|a+b-ab|

a2+b2

=1，…（4分）
兩邊平方整理得ab+2-2a-2b=0，即（a-2）（b-2）=2…（5分）
（2）設線段AB中點為M（x，y），由中點坐標公式得x=

a

2

＞1，y=

b

2

＞1，即…（7分）a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2得（2x-2）（2y-2）=2…（8分）
整理得AB中點M的軌跡方程為(x-1)(y-1)=

1

2

(x＞1，y＞1)…（9分）
（3）S△AOB=

1

2

ab=

1

2

[-2+2(a+b)]=-1+a+b=（a-2）+（b-2）+3≥3+2

(a-2)•(b-2)

=3+2

2

…（11分）（當且僅當a-2=b-2，又（a-2）（b-2）=2，即a=b=2+

2

時取得等號）…（12分）
故△AOB面積的最小值為3+2

2

…（13分）

點評：本題考查的知識點是直線和圓的方程的應用，軌跡方程，直線與圓的位置關系，考查的解題方法為坐標法，難度中等．