【題目】已知函數
，
，
為
的導函數.
（1）討論的單調性；
（2）若
，當
時，求證:
有兩個零點.
【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.
【解析】
（1）結合函數的導數與單調性的關系，對
進行分類討論，分為
，
，
，
幾種情形，即可求出函數的單調性；
（2）結合（1）中的結果可得
的單調性，易得1為函數一個零點，結合函數的單調性及函數的零點判定定理可求.
（1）
①當時，令
，得
，令
，得
，
所以
在
上單調遞增，在
上單調遞減；
②當
時，令
，得
，
，
i）當時，
，所以
在
上單調遞增；
ii）當時，令，得
或；令，得
，
所以在
和單調遞增，在
單調遞減；
iii）當時，令，得或
；令，得
，
所以在和
單調遞增，在
單調遞減；
綜上：①當時，在上單調遞增；在單調遞減；
②i）當時，在上單調遞增；
ii）當時，在和單調遞增，在單調遞減；
iii）當時，在和單調遞增，在單調遞減；
（2）當時，在與單調遞增，在單調遞減，
所以
在與單調遞增，在單調遞減，
因為
，所以
是函數的一個零點，且
，
當
時，取
且
，
則
，
所以
，所以在恰有一個零點，
所以在區間有兩個零點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】根據統計，某蔬菜基地西紅柿畝產量的增加量
（百千克）與某種液體肥料每畝使用量
（千克）之間的對應數據的散點圖，如圖所示.
（1）依據數據的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請計算相關系數
并加以說明（若
，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）；
（2）求關于的回歸方程，并預測液體肥料每畝使用量為
千克時，西紅柿畝產量的增加量約為多少？
附：相關系數公式
，回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知可導函數f（x）的定義域為
，且滿足
，
，則對任意的
，“
”是“
”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等差數列
和等比數列
的各項均為整數，它們的前
項和分別為
，且
，
.
（1）求數列，的通項公式；
（2）求
；
（3）是否存在正整數
，使得
恰好是數列或中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】產能利用率是工業總產出對生產設備的比率，反映了實際生產能力到底有多少在運轉發揮生產作用.汽車制造業的產能利用率的正常值區間為
，稱為“安全線”.如圖是2017年第3季度到2019年第4季度的中國汽車制造業的產能利用率的統計圖.以下結論正確的是（ ）
A.10個季度中，汽車產能利用率低于“安全線”的季度有5個
B.10個季度中，汽車產能利用率的中位數為
C.2018年4個季度的汽車產能利用率的平均數為
D.與上一季度相比，汽車產能利用率變化最大的是2019年第4季度
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓Γ：
的離心率為
，左右焦點分別為F1，F2，且A、B分別是其左右頂點，P是橢圓上任意一點，△PF1F2面積的最大值為4.
（1）求橢圓Γ的方程.
（2）如圖，四邊形ABCD為矩形，設M為橢圓Γ上任意一點，直線MC、MD分別交x軸于E、F，且滿足
，求證：AB＝2AD.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
：
（
為參數，
），曲線
：
（
為參數），與相切于點
，以坐標原點為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求的極坐標方程及點的極坐標；
（2）已知直線
：
與圓
：
交于
，
兩點，記
的面積為
，
的面積為
，求
的值.
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