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（A）（不等式選講）不等式log₃（|x-4|+|x+5|）＞a對于一切x∈R恒成立，則實數a的取值范圍是

 

；
（B） （幾何證明選講）如圖，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC內接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC=1，BC=2，則正方形DEFC的邊長等于

 

；
（C） （極坐標系與參數方程）曲線ρ=2sinθ與ρ=2cosθ相交于A，B兩點，則直線AB的方程為

 

．

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（A）（不等式選做題）不等式|x+1|-|x-2|＞2的解集為

(

3

2

，+∞)

(

3

2

，+∞)

．
（B）（幾何證明選做題）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為6cm，8cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則AD=

18

5

(或3.6)

18

5

(或3.6)

cm．
（C）（坐標系與參數方程選做題）圓C的參數方程

x=1+cosα y=1-sinα

（α為參數），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsinθ=1，則直線l與圓C的交點的直角坐標是

（0，1），或（2，1）

（0，1），或（2，1）

．

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一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分。

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

A

B

D

C

D

C

D

二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分

9．    10. 60   11.    12.    13. 2    14. -2；1

三、解答題： 本大題共6個小題，共80分。

15. （本小題共13分）

已知函數

（Ⅰ）求函數的定義域；

（Ⅱ）求函數在區間上的最值。

解：（Ⅰ）由題意                 

所求定義域為  {}                            …………4分

（Ⅱ）

                           …………9分

由   知   ，

所以當時，取得最大值為；                   …………11分

當時，取得最小值為0 。                   …………13分

16. （本小題共13分）

已知數列中，，點（1，0）在函數的圖像上。

（Ⅰ）求數列 的通項；

（Ⅱ）設，求數列的前n項和。      

解：(Ⅰ)由已知        又         …………3分

 所以 數列是公比為的等比數列      所以        …………6分

     （Ⅱ） 由                                …………9分

      所以                …………13分

17. （本小題共14分）

如圖，在正三棱柱中，,是的中點，點在上，。

（Ⅰ）求所成角的大小；        

（Ⅱ）求二面角的正切值；

(Ⅲ) 證明.

解：（Ⅰ）在正三棱柱中，  

又  是正△ABC邊的中點，

                               …………3分

∠為所成角

又     sin∠=                      …………5分

所以所成角為（）

（Ⅱ） 由已知得 

   ∠為二面角的平面角，     所以     …………9分

(Ⅲ)證明:  依題意  得   ，，

因為                        …………11分

又由（Ⅰ）中    知，且，

                                      …………14分

18. （本小題共13分）

某校高二年級開設《幾何證明選講》及《數學史》兩個模塊的選修科目。每名學生至多選修一個模塊，的學生選修過《幾何證明選講》，的學生選修過《數學史》，假設各人的選擇相互之間沒有影響。

(Ⅰ)任選1名學生，求該生沒有選修過任何一個模塊的概率；

(Ⅱ)任選4名學生，求至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率。

解：(Ⅰ)設該生參加過《幾何證明選講》的選修為事件A，

參加過《數學史》的選修為事件B， 該生沒有選修過任何一個模塊的概率為P，

則

所以 該生沒有選修過任何一個模塊的概率為                     …………6分

(Ⅱ)至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為

  所以至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為               …………13分

19. （本小題共13分）

已知函數的圖像如圖所示。

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若函數在處的切線方程為，求函數的        

解析式；

（Ⅲ）若=5，方程有三個不同的根，求實數的取值范圍。

  解： 函數的導函數為  

(Ⅰ)由圖可知  函數的圖像過點（0，3），且

  得                         …………3分

(Ⅱ)依題意  且

         解得  

   所以                                 …………8分

（Ⅲ）依題意

          由                                       ①

    若方程有三個不同的根，當且僅當 滿足        ②

  由 ① ②  得   

   所以 當  時 ，方程有三個不同的根。     …………13分

20. （本小題共14分）

       已知分別為橢圓的左、右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于直線，垂足為，線段的垂直平分線交于點M。

(Ⅰ)求動點M的軌跡的方程；

(Ⅱ)過點作直線交曲線于兩個不同的點P和Q，設＝，若∈[2，3]，求的取值范圍。

解：(Ⅰ)設M，則，由中垂線的性質知

||=     化簡得的方程為                  …………3分

（另：由知曲線是以x軸為對稱軸，以為焦點，以為準線的拋物線

    所以  ，         則動點M的軌跡的方程為）

(Ⅱ)設，由＝  知        ①

又由 在曲線上知                   ②

由  ①  ②       解得    所以 有          …………8分

 ===  …………10分

設 ，∈[2，3]， 有 在區間上是增函數，

得       進而有      

所以    的取值范圍是                             …………14