題目列表(包括答案和解析)
（）（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側棱的長都是地面邊長的
倍，P為側棱SD上的點。 
（Ⅰ）求證：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由。
如下圖，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥平面ABCD，|PA|=1。
（1）BC邊上是否存在點Q，使得PQ⊥QD，并說明理由；
（2）若BC邊上存在唯一的點Q使得PQ⊥QD，指出點Q的位置，并求出此時AD與平面
PDQ所成的角的正弦值；
（3）在（2）的條件下，求二面角Q―PD―A的正弦值。
（2013•房山區一模）在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，ABCD為直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=| 1 | 2 |
（本題滿分12分）
在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=
，AC=CB=1，D1是線段A1B1上一動點（可以與A1或B1重合）。過D1和CC1的平面與AB交于D。
(1）若四邊形CDD1C1總是矩形，求證：三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱；
(2)在（1）的條件下，求二面角B-AD1-C的取值范圍。
（1）指出動點P的軌跡（即說明動點P在滿足給定的條件下運動時所形成的圖形），證明你的結論;
（2）以軌跡上的動點P為頂點的三棱錐P－CDE的最大體積是正四棱錐S—ABCD體積的幾分之幾？
（3）設動點P在G點的位置時三棱錐P－CDE的體積取最大值V1，二面角G—DE—C的大小為α，二面角G—CE—D的大小為β，求tanα∶tanβ的值；
（4）若將“E是BC的中點”改為“E是BC上異于B、C的一定點”，其他條件不變，請指出點P的軌跡，證明你的結論.
一、選擇題 1--5 DDCBA 6--10 ADBCA 11-12 AB
二、填空題 13．
14．12 15．
16．AC
三、解答題
17.解：（Ⅰ） 
，
，
．
，
， 
．
（Ⅱ）由余弦定理
，得 
．
， 
．
所以
的最小值為
，當且僅當
時取等號．
18、（Ⅰ）解法一：依據題意，因為隊伍從水路或陸路抵達災區的概率相等，則將“隊伍從水路或陸路抵達災區”視為同一個事件. 記“隊伍從水路或陸路抵達災區”為事件C，且B、C相互獨立，而且
．…………………………………… 2分
在5月13日恰有1支隊伍抵達災區的概率是
. ……………… 5分
解法二：在5月13日恰有1支隊伍抵達災區的概率是
.……………………………………………………………… 5分
（Ⅱ）依據題意，因為隊伍從水路或陸路抵達災區的概率相等，則將“隊伍從水路或陸路抵達災區”視為同一個事件. 記“隊伍從水路或陸路抵達災區”為事件C，且B、C相互獨立，而且.
設5月13日抵達災區的隊伍數為
，則=0、1、2、3、4. ……………… 6分
由已知有：
；………………………………… 7分
；………………………… 8分
；………………… 9分
；……………………… 10分
. ………………………………………………… 10分
因此其概率分布為：
0
1
2
3
4
P
……………… 11分
所以在5月13日抵達災區的隊伍數的數學期望為：
=0×+ 1× + 2× + 3×+ 4×=
.
答：在5月13日抵達災區的隊伍數的數學期望=. ………………
12分
19.（I）由已知a2－a１=－2, a3－a2=－1, －1－（－2）=1 ∴an+1－an=（a2－a1）+（n－1）?1=n－3
n≥2時，an=（ an－an－1）+（ an－1－an－2）+…+（ a3－a2）+（ a2－a1）+ a1
=（n－4）+（n－5） +…+（－1）+（－2）+6 =
n=1也合適. ∴an= （n∈N*） ……………………3分
又b1－2=4、b2－2=2 .而
∴bn－2=（b1－2）?（
）n－1即bn=2+8?（）n
∴數列{an}、{bn}的通項公式為：an= ，bn=2+（）n－3…………… 6分
（II）設
當k≥4時
為k的增函數，－8?（）k也為k的增函數，…………… 8分
而f（4）= ∴當k≥4時ak－bk≥………………10分
又f（1）=f（2）=f（3）=0 ∴不存在k， 使f（k）∈（0，）…………12分
20、證（Ⅰ）因為
側面
，故
在
中，
由余弦定理有
故有
而 
且
平面
……………… 4分
（Ⅱ）由
從而
且
故
不妨設 
，則
，則
又
則
在
中有
從而
（舍去）
故
為
的中點時，
……………… 8分
法二：以
為原點
為
軸，設，則
由得 
即 
化簡整理得 
或 
當時與
重合不滿足題意
當時為的中點
故為的中點使……………… 8分
（Ⅲ）取
的中點
，
的中點
，
的中點
，
的中點
連
則
，連
則
，連
則
連
則
，且
為矩形，
又
故
為所求二面角的平面角……………… 10分
在
中，
……………… 12分
法二：由已知
，
所以二面角
的平面角
的大小為向量
與
的夾角……………… 10分
因為
故 
……………… 12分
21.解：（I）由
，
∴直線l的斜率為
，
故l的方程為
，∴點A坐標為（1，0）……… 2分
設
則
，
由
得
整理，得
……………………4分
∴動點M的軌跡C為以原點為中心，焦點在x軸上，長軸長為
，短軸長為2的橢圓 …… 5分
（II）如圖，由題意知直線l的斜率存在且不為零，設l方程為y=k（x－2）（k≠0）①
|
，
②……………………………7分
， 
……………… 8分
.
，1）.…………12分
的定義域為
，
…… 2分
當
時，
，函數
時，
,函數
時，
有兩個不同解，
時，
，
,
，
在定義域上的變化情況如下表：
時，
， …… 7分
時，0<
<1 此時，
時，
和一個極小值點
；…9分
時，
；
和一個極小值點
…….10分
時，函數
，此時
…… 9分
…… 11分
…… 12分
…14分