如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=CC₁，M，N分別為A₁B，B₁C₁的中點．
（1）求證：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）求證：MN⊥平面A₁BC．

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如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=CC₁，M，N分別為A₁B，B₁C₁的中點．
（1）求證：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）求證：MN⊥平面A₁BC．

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如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=CC₁，M，N分別為A₁B，B₁C₁的中點．
（1）求證：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）求證：MN⊥平面A₁BC．

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如圖1，三棱柱是ABC-A₁B₁C₁直三棱柱，它的三視圖如圖2所示（N為B₁C₁中點）．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求證：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅲ）求三棱錐B-A₁NC的體積．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.

1．A  2．C  3．C  4．A   5．C   6．B  7．D 8．C   9．D   10．D   11．B  12．D

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.

13．     14．±2     15．     16．40

三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17．解：

，聯合

得，即

當時，

當時，

∴當時，

當時，

18．解：由題意可知，這個幾何體是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁.

   （1）連結AC₁，AB₁.

由直三棱柱的性質得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，

所以AA₁⊥A₁B₁，則四邊形ABB₁A₁為矩形.

由矩形性質得AB₁過A₁B的中點M.

在△AB₁C₁中，由中位線性質得MN//AC₁，

又AC₁平面ACC₁A₁，MN平面ACC₁A₁，

所以MN//平面ACC₁A₁

   （2）因為BC⊥平面ACC₁A₁，AC平面ACC₁A₁，

所以BC⊥AC₁.

在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁.

又因為BC∩A₁C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC.

由MN//AC₁，得MN⊥平面A₁BC.

   （3）由題意CB，CA，CC₁兩兩垂直，故可以C為的點，

CB，CA，CC₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

又AC = BC = CC₁ = a，

則

則AB中點E的坐標為， 

為平面AA₁B的法向量.

又AC₁⊥平面A₁BC，故為平面A₁BC的法向量

設二面角A―A₁B―C的大小為θ，

則

由題意可知，θ為銳角，所以θ= 60°，即二面角A―A₁B―C為60°

19．解：（1）每家煤礦必須整改的概率是1－0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨立的.

所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是

.

   （2）由題設，必須整改的煤礦數服從二項分布B(5,0.5).從而的數學期望是

E＝，即平均有2.50家煤礦必須整改.

   （3）某煤礦被關閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經復查仍不合格，所以該煤礦被關閉的概率是，從而該煤礦不被關閉的概率是0.9.由題意，每家煤礦是否被關閉是相互獨立的，所以至少關閉一家煤礦的概率是

20．（1）依題意，點的坐標為，可設，

直線的方程為，與聯立得

消去得．

由韋達定理得，．

于是．

，

      當，．

   （2）假設滿足條件的直線存在，其方程為，

設的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，

則，點的坐標為．

，

，

，

．

令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．

21．解：（1）當時，，

∵，∴在上是減函數.

   （2）∵不等式恒成立，即不等式恒成立，

∴不等式恒成立. 當時，  不恒成立；

當時，不等式恒成立，即，∴.

當時，不等式不恒成立. 綜上，的取值范圍是.

22．解：（1）∵ 的橫坐標構成以為首項，為公差的等差數列

∴ .

∵ 位于函數的圖象上,

∴ ,

∴ 點的坐標為.

   （2）據題意可設拋物線的方程為：,

即．

∵ 拋物線過點（0，）,

∴ ,

∴   ∴ ．

∵ 過點且與拋物線只有一個交點的直線即為以為切點的切線，

∴ ．

∴ （），

∴

∴ ．

   （3）∵    ，

∴ 中的元素即為兩個等差數列與中的公共項，它們組成以為首項，以為公差的等差數列．

∵ ，且成等差數列，是中的最大數，

∴ ，其公差為．

當時，，

此時    ∴ 不滿足題意，舍去．

當時，，

此時，

∴ ．

當時，．

此時， 不滿足題意，舍去．

綜上所述，所求通項為．