Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=CC₁，M，N分別為A₁B，B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）求證：MN⊥平面A₁BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AB₁，則點(diǎn)M是AB₁的中點(diǎn)，又點(diǎn)N是B₁C₁的中點(diǎn)，則MN是△AB₁C₁的中位線，所以MN∥AC₁，可得MN∥平面ACC₁A₁；
（2）由BC⊥AC，BC⊥CC1₁，則BC⊥平面ACC₁A₁，連接AC₁，則BC⊥AC₁．側(cè)面ACC₁A₁是正方形，所以A₁C⊥AC₁．又BC∩A₁C=C，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AC₁⊥平面A₁BC，因?yàn)镸N∥AC₁，從而MN⊥平面A₁BC；
解答：證明：（1）連接AB₁，則點(diǎn)M是AB₁的中點(diǎn)，又點(diǎn)N是B₁C₁的中點(diǎn)，
則MN是△AB₁C₁的中位線，所以MN∥AC₁，
根據(jù)線面平行的判定得：
MN∥平面ACC₁A₁；
（2）由BC⊥AC，BC⊥CC1₁，則BC⊥平面ACC₁A₁，
連接AC₁，則BC⊥AC₁．
∵側(cè)面ACC₁A₁是正方形，所以A₁C⊥AC₁．
又BC∩A₁C=C，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AC₁⊥平面A₁BC，
又因?yàn)镸N∥AC₁，
根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得：
MN⊥平面A₁BC；
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行，同時考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，屬于中檔題．