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設函數f（x）=lnx+

a

x

(a∈R)，g(x)=x，F(x)=f(1+ex)-g(x)(x∈R)．
（I）若函數f（x）的圖象上任意一點P（x₀，y₀）處切線的斜率k≤

1

2

，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=0時，若x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，證明：F(

x1+x2

2

)＜

F(x1)+F(x2)

2

；
（Ⅲ）當a=0時，若方程m[f（x）+g（x）]=

1

2

x2（m＞0）有唯一解，求m的值．

已知函數f(x)=

ax+b

x2+1

在點M(1，f(1))處的切線方程為x-y-1=0．
（I）求f（x）的解析式；
（II）設函數g（x）=lnx，證明：g（x）≥f（x）對x∈[1，+∞）恒成立．

已知h（x）是指數函數，且過點（ln2，2），令f（x）=h（x）+ax．
（I）求f（x）的單調區間；
（II）記不等式h（x）＜（1-a）x的解集為P，若M={x|

1

2

≤x≤2}且M∪P=P，求實數a的取值范圍；
（III）當a=-1時，設g（x）=h（x）lnx，問是否存在x₀∈（0，+∞），使曲線C：y=g（x）-f（x）在點x₀處的切線斜率與f（x）在R上的最小值相等？若存在，求出符合條件的x₀的個數；若不存在，請說明理由．