Question

已知函數f(x)=

ax+b

x2+1

在點M(1，f(1))處的切線方程為x-y-1=0．
（I）求f（x）的解析式；
（II）設函數g（x）=lnx，證明：g（x）≥f（x）對x∈[1，+∞）恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把切點代入切線方程可得a+b=0，再根據導數的幾何意義可得f^′（1）=1，又得到關于a、b的方程，聯立解出即可．
（Ⅱ）把要證lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立，等價轉化為即證x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．進而利用導數求出函數h（x）=x²lnx+lnx-2x+2的最小值大于0即可．

解答：（Ⅰ）解：將x=1代入切線方程x-y-1=0，得y=0，∴f（1）=0．
又f(1)=

a+b

2

，化簡得a+b=0．            
f′(x)=

a(x2+1)-(ax+b)•2x

(1+x2)2

，f′(1)=

2a-2(a+b)

4

=

-2b

4

=

-b

2

=1．   
解得a=2，b=-2，
∴f(x)=

2x-2

x2+1

．  
（Ⅱ）證明：要證lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立，
即證（x²+1）lnx≥2x-2在[1，+∞）上恒成立，
即證x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．
設h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，則h′(x)=2xlnx+x+

1

x

-2．
∵x≥1，∴2xlnx≥0，x+

1

x

≥2，即h'（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上x∈[1，+∞）單調遞增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在上恒成立．

點評：掌握利用導數的幾何意義求切線的斜率及求函數的單調性是解題關鍵，必須熟練解出，并學會將問題進行等價轉化．