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已知函數f（x）是定義在實數集R上的不恒為零的偶函數，且對任意實數x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），則f（f（

5

2

））的值是．

已知f（x）是定義在[-2，2]上的函數，且對任意實數x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，且f（x）的最大值為1，則滿足f（log₂x）＜1的解集為 ．

已知定義在R上的單調函數f（x），存在實數x₀，使得對于任意實數x₁，x₂總有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立
（1）求x₀的值；
（2）若f（x₀）=1，且對任意正整數n，有an=

1

f(n)

，bn=f(

1

2n

)+1，記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求S_n和T_n；
（3）若不等式an+1+an+2+…+a2n＞

4

35

[log

1

2

(x+1)-log

1

2

(9x2-1)+1]對任意不小于2的正整數n都成立，求x的取值范圍．

已知函數f（x）是定義在[-1，1]上的函數，若對于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在[-1，1]上是增函數，還是減函數，并用單調性定義證明你的結論；
（3）設f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

已知定義在R的函數f（x）對任意實數x，y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且當x＞0時，f（x）＜0，又f（1）=-

2

3

，
（1）求征，f（x）為奇函數；
（2）求證：f（x）在R上是減函數；
（3）求f（x）在[-3，6]上的最大值與最小值．